ギブス現象の正式な数学的記述
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 14:57 UTC 版)
「ギブズ現象」の記事における「ギブス現象の正式な数学的記述」の解説
f : R → R {\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }} を、ある実数L > 0 を周期とする区分的連続微分可能な周期関数とする。ある点x0 において、関数f の左極限f (x0- ) と右極限f (x0+ ) とが、ゼロでない「跳び」a だけ食い違っているものとする。つまり： f ( x 0 + ) − f ( x 0 − ) = a ≠ 0 {\displaystyle f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=a\neq 0} 正整数N ≥ 1 の各々に対して、SN f を、フーリエ級数のN 次部分和とする。つまり： S N f ( x ) := ∑ − N ≤ n ≤ N f ^ ( n ) e 2 π i n x / L = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 N a n cos ( 2 π n x / L ) + b n sin ( 2 π n x / L ) {\displaystyle S_{N}f(x):=\sum _{-N\leq n\leq N}{\hat {f}}(n)e^{2\pi inx/L}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(2\pi nx/L)+b_{n}\sin(2\pi nx/L)} ここで、フーリエ係数 f ^ ( n ) , a n , b n {\displaystyle {\hat {f}}(n),a_{n},b_{n}} は、次の通常通りの式で与えられたものである。 f ^ ( n ) := 1 L ∫ 0 L f ( x ) e − 2 π i n x / L d x a n := 2 L ∫ 0 L f ( x ) cos ( 2 π n x / L ) d x b n := 2 L ∫ 0 L f ( x ) sin ( 2 π n x / L ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(n)&:={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)e^{-2\pi inx/L}\ dx\\a_{n}&:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos(2\pi nx/L)\ dx\\b_{n}&:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin(2\pi nx/L)\ dx\end{aligned}}} 従って、次の式が得られる： lim N → ∞ S N f ( x 0 + L 2 N ) = f ( x 0 + ) + a ⋅ 0.089490 … lim N → ∞ S N f ( x 0 − L 2 N ) = f ( x 0 − ) − a ⋅ 0.089490 … {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0}+{\frac {L}{2N}})&=f(x_{0}^{+})+a\cdot 0.089490\dots \\\lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0}-{\frac {L}{2N}})&=f(x_{0}^{-})-a\cdot 0.089490\dots \end{aligned}}} 及び lim N → ∞ S N f ( x 0 ) = f ( x 0 − ) + f ( x 0 + ) 2 {\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0})={\frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}} より一般的には、xN が N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } の時にx0 に収束する任意の実数列であるとし、また跳びa が正であるとすると、次のようになる。 lim sup N → ∞ S N f ( x N ) ≤ f ( x 0 + ) + a ⋅ 0.089490 … lim inf N → ∞ S N f ( x N ) ≥ f ( x 0 − ) − a ⋅ 0.089490 … {\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})&\leq f(x_{0}^{+})+a\cdot 0.089490\dots \\\liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})&\geq f(x_{0}^{-})-a\cdot 0.089490\dots \end{aligned}}} 跳びa が負である場合には、上の2つの不等式において、上極限と下極限とを交換し、そして ≤ 記号と ≥ 記号とを交換する必要がある。
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