オイラー積に基づく等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)
「リーマンゼータ関数」の記事における「オイラー積に基づく等式」の解説
２つのゼータ関数値の関係を表す、次の等式がある。 ∏ p : prime p s + 1 p s − 1 = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) , { s ∣ s ∈ R + } {\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},\quad \{s\mid s\in \mathbb {R^{+}} \}} この等式は、次の通りオイラー積に基づく単純な式変形により導かれる。 ∏ p : prime p s + 1 p s − 1 = ∏ p : prime p s + 1 p s − 1 p s − 1 p s − 1 = ∏ p : prime 1 − p − 2 s ( 1 − p − s ) 2 = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) {\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}{\frac {p^{s}-1}{p^{s}-1}}=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {1-p^{-2s}}{(1-p^{-s})^{2}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}} ． この等式の発見者について、オイラーは包括的なオイラー積の生みの親であるが、ラマヌジャンはs = 2の場合を発見していたとされる。 s = 2の場合、等式は次の通りである。 ∏ p : prime p 2 + 1 p 2 − 1 = ζ ( 2 ) 2 ζ ( 4 ) = ( π 2 6 ) 2 / ( π 4 90 ) = 5 2 {\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}=\left({\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)^{2}/\left({\frac {\pi ^{4}}{90}}\right)={\frac {5}{2}}} ． s が正の偶数の場合、ゼータ関数の特殊値より、この等式の値は、ベルヌーイ数と整数階乗のみの計算となるため、結果的に有理数となる。
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