アトキンソン・スティグリッツの定理

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アトキンソン・スティグリッツの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:20 UTC 版)

アトキンソン・スティグリッツの定理(En:Atkinson-Stiglitz theorem)は、最適な税制を達成するためには間接税は必要であることを示した定理である。アンソニー・アトキンソンとジョセフ・スティグリッツの名を冠したこの定理は公共経済学における最重要定理の一つである。

基本形式

ここに二つの集団があるとする。グループ1とグループ2とする。後者が能力的弱者とする。その場合政府が税制度のパレート最適性を達成するために、 まずグループ2の効用が所与の水準もしくはそれより大であるという条件を課す。

${\overline {U}}_{1}\leq V_{1}(C_{1},Y_{1})\quad$

さらに政府は税収の最大値を設定し、税収がその最大税収と等しいかそれよりも多くなるような条件を課す。

$R=-(C_{1}-Y_{1})N_{1}-(C_{2}-Y_{2})N_{2}\;$

${\overline {R}}\leq R\;$

これらの条件の下で政府はグループ1の効用を最小化する必要がある。

最適値を調べるための基本関数の形式は以下のように与えられ、

${\mathcal {L}}=V_{2}(C_{2},Y_{2})+\mu V_{1}(C_{1},Y_{1})+\lambda _{2}(V_{2}(C_{2},Y_{2})-V_{2}(C_{1},Y_{1}))+\lambda _{1}(V_{1}(C_{1},Y_{1})-V_{1}(C_{2},Y_{2}))+\gamma \left(-(C_{1}-Y_{1})N_{1}-(C_{2}-Y_{2})N_{2}-{\overline {R}}\right)\;,$

最適解を得るための基本条件は

$\mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}}-\gamma N_{1}=0\;,$

$\mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}+\gamma N_{1}=0\;,$

${\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{2}}}-\gamma N_{2}=0\;,$

${\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{2}}}+\gamma N_{2}=0\;$

となる。

$\lambda _{1}=0$ かつ $\lambda _{2}=0$となるケースでは、

${\frac {\partial V_{i}/\partial Y_{i}}{\partial V_{i}/\partial C_{i}}}+1=0\;,$

$(i=1,2)$となり政府は一括徴税できる。

$\lambda _{1}=0$　かつ $\lambda _{2}>0$となるケースでは、

${\frac {\partial V_{2}/\partial Y_{2}}{\partial V_{2}/\partial C_{2}}}+1=0\;,$

グループ2への限界税率はゼロとなる。グループ1に関しては、

${\frac {\partial V_{1}/\partial Y_{2}}{\partial V_{1}/\partial C_{1}}}=-{\frac {1-\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial Y_{1})/N_{1}\gamma }{1+\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial C_{1})/N_{1}\gamma }}\;$

もし $\delta _{i}={\frac {\partial V_{i}/\partial Y_{1}}{\partial V_{i}/\partial C_{1}}}\;,\quad (i=1,2)$であれば、グループ1への限界税率は $\delta _{1}+1$となる。さらには、

$\delta _{1}=-\left({\frac {1-\nu \delta _{2}}{1+\nu }}\right)\;$

であり、ここで $\nu$ を以下のように定義する。

$\nu ={\frac {\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial C_{1})}{N_{1}\gamma }}\;$

条件から $\delta _{1}<\delta _{2}$であり、 $-1<\delta _{1}<\delta _{2}$となることがわかる。よってグループ1への限界税率は正となる。

$\lambda _{1}>0$ and $\lambda _{2}=0$のケースではグループ2への限界税率が負となる。一括徴税すると能力的弱者への徴税が強者よりも多くなってしまう。

パレート最適な税制

個人の消費関数をベクトル形式で

${\textbf {C}}_{1}=\sum _{j}C_{1j}{\textbf {e}}_{j}$

${\textbf {C}}_{2}=\sum _{j}C_{2j}{\textbf {e}}_{j}\;$

と書く。この場合政府の財政に関する不等式は、

$R\leq \sum _{k=1}^{2}(Y_{k}N_{k})-N_{1}\sum _{j}C_{1j}-N_{2}\sum _{j}C_{2j}\;$

となる。

従って最適解の条件は以下のようになり、

$\mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\gamma N_{1}=0\;,$

$\mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}+\gamma N_{1}=0\;,$

${\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{2j}}}-\gamma N_{2}=0\;,$

${\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{2}}}+\gamma N_{2}=0\;$

ここで $\lambda _{1}=0$ and $\lambda _{2}>0$の場合を考えると、

${\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2n}}}}=1\;,\quad {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}}=1\;$

となる。そして、

${\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}={\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}\;$

となるために、以下のような結論を得る。

${\frac {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1n}}}}=1\;$

すなわちパレート最適な税制を達成するためには、コモディティへの課税が必要であることがわかる。

関連項目

• パレート効率性
• 所得格差

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アトキンソン・スティグリッツの定理 (1976)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/29 00:50 UTC 版)

「最適資本所得課税」の記事における「アトキンソン・スティグリッツの定理 (1976)」の解説

アトキンソン・スティグリッツの定理は、もし非線形な租税が所得に政策ツールとして用いられるとすれば、すべての消費者が消費と労働の間の弱い分離を選択した場合、最初とその次の期間の消費の差額の課税は最適ではないことを述べる。それだけでなく、消費者は消費の同質な副効用関数を必要とする。資本所得課税に応用する場合、アトキンソン・スティグリッツの定理は、現在と将来の消費は弱い分離的な選択によって余暇へ等しく補うので（そしてしたがって資本所得課税についてはコーレット-ハーグの動機が存在しないので）、追加の歪ませる資本所得の場合の労働所得課税によって引き起こされる資本所得課税は、その租税の歪みを軽減しないことを主張する。このようにして、資本所得課税、すなわち差額への消費課税は、純粋な非線形の労働所得課税よりも多く費用がかかる（したがって最適には及ばない）。