パレート最適な税制
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:20 UTC 版)
「アトキンソン・スティグリッツの定理」の記事における「パレート最適な税制」の解説
個人の消費関数をベクトル形式で C 1 = ∑ j C 1 j e j {\displaystyle {\textbf {C}}_{1}=\sum _{j}C_{1j}{\textbf {e}}_{j}} C 2 = ∑ j C 2 j e j {\displaystyle {\textbf {C}}_{2}=\sum _{j}C_{2j}{\textbf {e}}_{j}\;} R ≤ ∑ k = 1 2 ( Y k N k ) − N 1 ∑ j C 1 j − N 2 ∑ j C 2 j {\displaystyle R\leq \sum _{k=1}^{2}(Y_{k}N_{k})-N_{1}\sum _{j}C_{1j}-N_{2}\sum _{j}C_{2j}\;} となる。 従って最適解の条件は以下のようになり、 μ ∂ V 1 ∂ C 1 j − λ 2 ∂ V 2 ∂ C 1 j + λ 1 ∂ V 1 ∂ C 1 j − γ N 1 = 0 , {\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\gamma N_{1}=0\;,} μ ∂ V 1 ∂ Y 1 − λ 2 ∂ V 2 ∂ Y 1 + λ 1 ∂ V 1 ∂ Y 1 + γ N 1 = 0 , {\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}+\gamma N_{1}=0\;,} ∂ V 2 ∂ C 2 j + λ 2 ∂ V 2 ∂ C 2 j − λ 1 ∂ V 1 ∂ C 2 j − γ N 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{2j}}}-\gamma N_{2}=0\;,} ∂ V 2 ∂ Y 2 + λ 2 ∂ V 2 ∂ Y 2 − λ 1 ∂ V 1 ∂ Y 2 + γ N 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{2}}}+\gamma N_{2}=0\;} ここで λ 1 = 0 {\displaystyle \lambda _{1}=0} and λ 2 > 0 {\displaystyle \lambda _{2}>0} の場合を考えると、 ∂ V 2 ∂ C 2 j ∂ V 2 ∂ C 2 n = 1 , ∂ V 2 ∂ C 2 j ∂ V 2 ∂ Y 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2n}}}}=1\;,\quad {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}}=1\;} ∂ V 1 ∂ C 1 j = ∂ V 2 ∂ C 1 j {\displaystyle {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}={\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}\;} ∂ V 1 ∂ C 1 j ∂ V 1 ∂ C 1 n = 1 {\displaystyle {\frac {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1n}}}}=1\;} すなわちパレート最適な税制を達成するためには、コモディティへの課税が必要であることがわかる。
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