ひとつの例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/22 03:07 UTC 版)
「ガロア拡大での素イデアルの分解」の記事における「ひとつの例」の解説
ガウスの整数の場合を再び考える。θ を虚数の単数 i ととると、最小多項式は、H(X) = X2 + 1 である。Z[ i {\displaystyle i} ] は Q( i {\displaystyle i} ) の全整数環であるので、例外的な素数は存在しない。 P = (2) に対し、体 Z/(2)Z の中で多項式 X2 + 1 modulo 2 の分解を考えると、 X 2 + 1 = ( X + 1 ) 2 ( mod 2 ) {\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}} Q = ( 2 ) Z [ i ] + ( i + 1 ) Z [ i ] = ( 1 + i ) Z [ i ] {\displaystyle Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]} により与えられる。 次の場合は p ≡ 3 mod 4 である素数に対する P = (p) である。具体的に、P = (7) をとると、多項式 X2 + 1 は modulo 7 で既約であるので、惰性次数が 2 で分岐指数が 1 である唯一の素因子が存在し Q = ( 7 ) Z [ i ] + ( i 2 + 1 ) Z [ i ] = 7 Z [ i ] {\displaystyle Q=(7)\mathbf {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z} [i]=7\mathbf {Z} [i]} により与えられる。 最後の場合である素数 p ≡ 1 mod 4 の場合の P = (p) については、再び P = (13) ととる。今度は、分解が￥して X 2 + 1 = ( X + 5 ) ( X − 5 ) ( mod 13 ) {\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}} Q 1 = ( 13 ) Z [ i ] + ( i + 5 ) Z [ i ] = ⋯ = ( 2 + 3 i ) Z [ i ] {\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i+5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z} [i]} Q 2 = ( 13 ) Z [ i ] + ( i − 5 ) Z [ i ] = ⋯ = ( 2 − 3 i ) Z [ i ] {\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i-5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z} [i]} で与えられる。
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