階乗冪

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/10 03:23 UTC 版)

陰計算との関係

「陰計算」も参照

下降階乗冪の全体および上昇階乗冪の全体はそれぞれ多項式列を成す。下降階乗冪は多項式を前進差分作用素 $Δ$ を用いた公式（ニュートン級数展開）

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}~{(x-a)}^{\underline {k}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)

（微分積分学におけるテイラーの定理と形の上で類似）で表すときに現れる。この公式やほかの様々なところで、微分積分学における冪函数 $x k$ に当たる役割を、和分差分学において下降階乗冪 $x k$ が果たす。例えば

\Delta x^{\underline {k}}=k\,x^{\underline {k-1}}

と

Dx^{k}=k\,x^{k-1}\quad (D=d/dx)

との類似対応に注意せよ。同様の関係は、不定和分に関しても述べられるし、上昇階乗冪と後退差分を用いても得られる。

このような類似性の研究は陰計算 (umbral calculus^{[* 10]}) と呼ばれる。階乗冪を含めた上記のような関係を記述する一般論は、二項型多項式列およびシェファー列の理論に含まれる（階乗冪は二項型シェファー列である）。同様に階乗冪の母函数は陰冪数 (umbral exponential) を勘案して

\sum _{n=0}^{\infty }x^{\underline {n}}{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x},\quad (\Delta (1+t)^{x}=t(1+t)^{x})

で与えられる。

脚注

注釈

^ 降冪、下方階乗冪とも。
^ 昇冪、上方階乗冪とも。
^ 特に $(x) n$ のことを言い、上昇階乗冪を表す記号とする文献もあるので注意（この場合、下降階乗冪は $(x - n + 1) n$ と書ける）。また、ポッホハマー自身はこれを二項係数を表すため用いた。詳細はポッホハマー記号の項目を参照。
^ このような記法では
$\textstyle (x)_{n}^{\pm }=\prod _{k=1}^{n}(x\pm (k-1))$
のような略記も可能である。
^ 右辺は反射公式による。
^ x = 0 の場合、階乗冪は当然 0 であるがガンマ関数による表記は x = 0 の場合もカバーしている。また、x < n のときの自然数 x に対する下降階乗冪、および −x < n のときの負の整数 x に対する上昇階乗冪も 0 になるが、それもカバーしている。
^ ガンマ関数は 0 および負の整数で極を持つため、中辺の式では定義できない。
^ が、和分差分学における指数函数に相当する概念とは異なる。(結城浩『離散系バージョンの関数探し』)
^ ただし、非整数 $α$ に対して
$\textstyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}dx$
の意味で用いている
^ 羅: umbra は「日影」の意