実または複素「冪」とは? わかりやすく解説

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実または複素「冪」

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/05 15:32 UTC 版)

階乗冪」の記事における「実または複素「冪」」の解説

x および x + n が負の整数でないとき、階乗代わりにその補間函数であるガンマ函数用いれば階乗冪指数 n は任意の実数(あるいは複素数)とすることができる具体的に次のようになる。 x n _ = Γ ( x + 1 ) Γ ( x − n + 1 ) = ( − 1 ) n Γ ( − x + n ) Γ ( − x ) {\displaystyle x^{\underline {n}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}=(-1)^{n}\,{\frac {\Gamma (-x+n)}{\Gamma (-x)}}} x n ¯ = Γ ( x + n ) Γ ( x ) = ( − 1 ) n Γ ( − x + 1 ) Γ ( − x − n + 1 ) {\displaystyle x^{\overline {n}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}=(-1)^{n}\,{\frac {\Gamma (-x+1)}{\Gamma (-x-n+1)}}} 特に上記二式右辺の式は x が負の整数の場合に特に有効である。 ふたつの実数 a および x について、a と a + x負の整数でないとき、定数 a を底とし、指数 x を変数とする階乗冪 (a)±x は(階乗冪を冪の類似見做すならば)指数函数類似である。

※この「実または複素「冪」」の解説は、「階乗冪」の解説の一部です。
「実または複素「冪」」を含む「階乗冪」の記事については、「階乗冪」の概要を参照ください。

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