接続 (ベクトル束)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/19 06:32 UTC 版)

平行移動とホロノミー群

平行移動

$\nabla$

球面上の平行移動。測地線（＝大円）で囲まれた三角形上でベクトルを一周平行移動すると、もとに戻ってきたときに元のベクトルには戻らない。

ユークリッド空間の場合と違い、どの曲線に沿って平行移動したかによって平行移動の結果が異なる事に注意されたい。すなわち曲線 $P(t)$ に沿った平行移動を $\varphi _{a,b}(v)$ 、曲線 $Q(t)$ に沿った平行移動を $\psi _{a',b'}(v)$ とするとき、たとえ $P(a)=Q(a')$ 、 $P(b)=Q(b')$ であっても $\varphi _{a,b}(v)=\psi _{a',b'}(v)$ であるとは限らない。この現象をホロノミー（英語版）（英: holonomy）という^[41]。

$\varphi _{a,b}$ の定義より、 $\varphi _{a,b}$ は $E_{P(a)}$ から $E_{P(b)}$ への写像であるとみなせるが、この写像は以下を満たす：

定理 ― 　 $\varphi _{a,b}~:~E_{P(a)}\to E_{P(b)}$ は線形同型である^[42]。

よって平行移動により、（接続や計量が定義されていない）多様体 $M$ では本来無関係のはずの $E_{P(a)}$ と $E_{P(b)}$ がつながって（connect）、 $E_{P(a)}$ の元と $E_{P(b)}$ の元を比較する事ができるようになる。接続（connection）という名称は、ここから来ている。

$E$ にリーマン計量 $g$ が定義されているときは以下が成立する事を容易に示せる：

定理 (平行移動による計量の保存) ― $\nabla$ が $E$ のリーマン計量 $g$ と両立するとき、任意の $v,v'\in E_{P(a)}$ に対し、以下が成立する：

g(v,v')=g(\varphi _{a,b}(v),\varphi _{a,b}(v'))

曲線 $P(t)$ 上定義された $E$ の切断 $e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)$ で、各時刻 $t$ に対して $e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)$ が $E P$ の基底の基底になっており、しかも $e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)$ が $P(t)$ に沿って平行なものを $P(t)$ に沿った水平フレーム^{[訳語疑問点]}（英: horizontal frame）という。

共変微分の特徴づけ

これまで共変微分の概念を用いる事で平行移動の概念を定義してきたが、逆に平行移動の概念を用いて共変微分を特徴づけることができる：

定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ― 多様体 $M$ 上の曲線 $P(t)$ と $M$ のベクトルバンドル $E$ の $P(t)$ に沿った切断 $s(t)\in E_{P(t)}$ を考えるとき、 $P(t)$ に沿った平行移動を $\varphi _{a,t}$ とすると、以下が成立する^[43]：

{\nabla s \over dt}(a)

=\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}

ここで ${d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))$ はベクトル空間 $E_{P(a)}$ における微分 ${d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))=\lim _{t\to a}{\tfrac {\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))-s(a)}{t}}$ である。なお、 $\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))$ は $t$ によらず $E_{P(a)}$ に属するので、 $E_{P(a)}$ 上の差や極限を考えることができる。

証明

$e_{1},\ldots ,e_{n}$ を $E_{P(a)}$ の基底とし、 $e_{i}(t):=\varphi _{a,t}(e_{i})$ （for $i=1,\ldots ,n$ ）とし、 $s(t)=s^{i}(t)e_{i}(t)$ と成分表示すると、

{\nabla  \over dt}s(t)={\nabla  \over dt}(s^{i}(t)e_{i}(t))={ds^{i} \over dt}(t)e_{i}(t)+s^{i}(t){\nabla e_{i} \over dt}(t)

が成立する。 $e_{i}(t)$ の定義から $e_{i}(t)$ は $P(t)$ に沿って平行なので、上式右辺第二項は $0$ である。よって、

{\nabla s \over dt}(a)={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(a)=\left.{d \over dt}(s^{i}(t)e_{i}(a))\right|_{t=a}=\left.{d \over dt}(s^{i}(t)\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(t)))\right|_{t=a}=\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}

となり定理が証明された。

上記の定理を用いると、共変微分の成分表示に意味を持たせる事ができる。これをみるため $x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$ を $M$ を局所座標とし、 $x$ を成分で $x=(x^{1},\ldots ,x^{m})$ とあらわし、さらに $e_{1},\ldots ,e_{n}$ を $U$ 上定義された $E$ の局所的な基底とすると、

{\nabla s \over dt}(a)

=\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}

=\left.{d \over dt}s^{i}(t)\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}

={ds^{i} \over dt}(a)(e_{i}(x(a)))+s^{i}(a)\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}

であるので、これを共変微分の成分表示

\left.{\nabla s \over dt}\right|_{t=a}={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(x(a))+s^{i}(a)\omega _{i}{}^{j}\left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)e_{j}(x(a))

と比較する事で、以下が結論付けられる：

定理 (接続形式の平行移動による特徴づけ) ― 曲線 $x(t)$ 上の平行移動を $\varphi _{a,t}$ とし、曲線状定義された $E$ の基底を $e_{1},\ldots ,e_{n}$ とするとき、 $\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}$ の行列表示は接続形式を使って $\omega \left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)$ と書ける。

すなわち

\left.{\nabla s \over dt}\right|_{t=a}={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(x(a))+s^{i}(a)\omega _{i}{}^{j}\left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)e_{j}(x(a))

の第一項、第二項はそれぞれ、 $s=s^{i}e_{i}$ をライプニッツ則に従って微分したときの $s i$ の方の微分、 $e i$ の方の微分に対応していると解釈できる。

ホロノミー群

点 $P \in M$ を固定するとき、 $P$ から出て $P$ 自身へと戻る各閉曲線 $C$ に沿った平行移動は $E P$ から $E P$ 自身への線形同型写像 $\varphi _{C}~:~E_{P}\to E_{P}$ を定めると、曲線の連結 $CC'$ に対し $\varphi _{CC'}=\varphi _{C'}\circ \varphi _{C}$ となるし、 $C$ の逆向きの曲線を ${\bar {C}}$ とすると、 $\varphi _{\bar {C}}=\varphi _{C}{}^{-1}$ となる事が容易に示せる。

よって

\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P):=\{\varphi _{C}\mid C

は

P

から出て

P

自身へと戻る閉曲線

\}

とすると、 $\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$ は $E P$ の自己線形同型のなす群の部分群をなす。 $\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$ を $P$ における $E$ の $\nabla$ に関するホロノミー群（英: holonomy group）という。なお、 $M$ が弧状連結であれば $P$ によらず $\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$ が同型である事を容易に示せるので、 $P$ を略して単に $\mathrm {Hol} (E,\nabla )$ とも書く。

また、

\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P):=\{\varphi _{C}\mid C

は

P

から出て

P

自身へと戻る閉曲線で

M

上0-ホモトープなもの

\}

とすると、 $\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)$ は $\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$ の部分群をなす。 $\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)$ を $P$ における $E$ の $\nabla$ に関する制約ホロノミー群（英: restricted holonomy group）という。 $M$ が弧状連結であれば $P$ によらず $\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)$ が同型である事も同様に示せるので、 $P$ を略して単に $\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla )$ とも書く。

定義から明らかなように、 $\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$ 、 $\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)$ は $E P$ 上の線形同型全体のなすリー群 $\mathrm {GL} (E_{P})$ の部分群である。実は次が成立する事が知られている：

定理 ― $\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$ は $\mathrm {GL} (E_{P})$ の（閉とは限らない）部分リー群である^[44]。

また $\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)$ は $\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$ の（閉とは限らない）弧状連結なリー部分群である^[45]。

脚注

出典

^ #Tu p.52.
^ ^a ^b #Tu p.49.
^ ^a ^b #Tu p.53.
^ 1⇒2は#Tu p.56、2⇒1は自明。1⇔3は#Tu p.58。3⇔4は自明。
^ ^a ^b #Tu p.55
^ #Andrews Lecture 10, p.2.
^ #Tu p.45.
^ #Andrews Lecture 8 p.74, Lecture 10 p.98.
^ #新井 p.304.
^ #Tu p.45.
^ 板場綾子「自己移入的Koszul多元環に対する有限条件(Fg) (有限群のコホモロジー論とその周辺)」『数理解析研究所講究録』第2061巻、京都大学数理解析研究所、2018年4月、33頁、CRID 1050001202603941760、hdl:2433/241849、ISSN 1880-2818、NAID 120006645349。
^ “Koszul duality for factorization algebras and extended topological field theories”. 2023年10月19日閲覧。
^ “２０２０年度幾何学 B アインシュタイン計量の幾何学 -リーマン幾何学入門とアインシュタイン計量の幾何学への応用-”. p. 75. 2023年10月19日閲覧。
^ #Spivak p.241.
^ José Figueroa-O'Farrill. “Lecture 5: Connections on principal and vector bundles”. PG course on Spin Geometry. p. 40. 2023年1月12日閲覧。
^ #森田 p.213.
^ #Tu p.72.
^ #小林 p.76.
^ #Wendl3 p.76.
^ #Kolar p.109.
^ #Koszul p.78.
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.119
^ “Linear connection”. Encyclopedia of Mathematics. 2023年10月17日閲覧。
^ #Tu p.75.
^ #小林 p.37.
^ #小林 p.38.
^ #Tu p.80.
^ #Andrews Lecture 8 p.74.
^ #Tu p.100.
^ 原文"There does not seem to be a good reason for calling $T(X,Y)$ the torsion."。#Tu p.44.
^ #Wendl4 p.101.
^ #Tu p.44.
^ ^a ^b #Tu p.100.
^ #Wendl4 p.102.
^ #小林 p.41.
^ ^a ^b ^c #小林 pp.40-41.
^ #Wang p.4.
^ 藤原彰夫『情報幾何学の基礎: 情報の内的構造を捉える新たな地平』共立出版、2021年5月31日、89頁。ISBN 978-4320114517。
^ #Wendl3 p.80/
^ ^a ^b #Tu p.263.
^ #Tu p.113.
^ #Tu p.263.
^ #Spivak p.251.
^ #小林 p.72.
^ #小林 p.74.
^ #Tu p.103.
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.138.
^ ^a ^b #Tu p.107.
^ #Tu p.115.
^ #Tu p.130.
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^ #Berger p.227.
^ #Tu pp.117-118.
^ #小林 p.89.
^ #Tu p.118.
^ ^a ^b #Spivak p.271.
^ ^a ^b #Kobayashi-Nomizu-1 p.146
^ #新井 pp.324-326.
^ #Lee p.101.
^ #佐々木 pp.89-91.
^ #新井 pp.329-331.
^ #Tu p.138.
^ ^a ^b ^c ^d #小林 p.43.
^ Jeff A. Viaclovsky. “240AB Differential Geometry”. University of California, Irvine. p. 81. 2023年6月23日閲覧。なお添字の順番が引用元と異なっているが、これは $R_{ikj\ell }$ の添字の順番が引用元と異なっているからである。
^ ^a ^b #Tu p.80.
^ #小林 p.44.
^ #新井 p.272.
^ #Tu p.80
^ ^a ^b #Tu p.204.
^ #Wendl5 p.122.
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.145.
^ #小林 p.107.
^ #Tu p.84.
^ #新井 p.270
^ ^a ^b #Tu p.203.
^ ^a ^b ^c #Kobayashi-Nomizu-1 p.135.
^ #Tu p.91.
^ #Viaclovsky p.12.
^ ^a ^b ^c #Tu pp.204-207.
^ #Tu p.207.
^ #Lee p.118.
^ #Tu p.92.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Tu p.208-209.
^ #Carmo p.97.
^ #Carmo p.94.
^ #Carmo p.131.
^ #Prasolov p.203.
^ #Rani p.22.
^ #小林 p.45.

注釈

^ 人名「Koszul」を「コシュール」と訳している文献^[11]^[12]^[13]があるため、「コシュール接続」と読むと思われるが、「コシュール接続」と訳した文献を発見できなかったので本項では「Koszul接続」と表記した。なお、Wikipediaの英語版には「フランス語: [kɔsyl]」とある。
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.119では上述のように「線形接続」という言葉を接バンドルのフレームバンドル上の接続の意味で用いているが、p.129では「線形接続」がアフィン接続と1対1対応するのでアフィン接続と実質的に等価であるものの、必要に応じてこれらの言葉を使い分ける旨を述べている。一方、“Linear connection”. Encyclopedia of Mathematics. 2023年10月17日閲覧。ではアフィン接続が接バンドルのフレームバンドルに定める接続の意味で用いているが、上述のようにこれはアフィン接続と1対1対応する。
^ 成分 $\omega ^{i}{}_{j}$ 接続形式といい、 $ω$ を接続行列（英: connection matrix）と呼ぶ場合もある^[27]。
^ $R$ はテンソル $R P$ の場なので、 $R$ を「曲率テンソル場」（curvature tensor field）と言った方が自然に見えるが、本項執筆者が調べた範囲では、「曲率テンソル場」と呼んでいる文献は少なかったので、本項では慣用に従い「曲率テンソル」と呼ぶことにした。
^ ^a ^b 成分表示の添字の取り方は文献によって異なるので注意されたい。我々は#Kobayashi-Nomizu-1 p.144に従い、
$R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}=R^{i}{}_{jk\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$
としたが、#Viaclovsky p.11では
$R({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}}=R_{ijk}{}^{\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}$
としている。
^ #Tu p.84.では $τ$ 自身ではなくその成分 $\tau ^{1},\ldots ,\tau ^{m}$ の事を捩率形式と呼んでいる。
^ $e_{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ であれば $\theta ^{i}=dx^{i}$ であるが、必ずしも $e_{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ でなくともよい^[74]。
^ $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ をサイクリックに回している。
^ 断面曲率との関係性を示すために両辺の分母を表記したが、両辺の分母は同一であるので、実際には分母は必要ない。
^ 厳密には以下の通りである。 $M$ の曲線 $c(t)$ に沿って定義された局所的な基底 $e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t))$ を考え、 $e(0)$ を $c(t)$ に沿って平行移動したものを ${\bar {e}}(t)=({\bar {e}}_{1}(t),\ldots ,{\bar {e}}_{n}(t))$ として行列 $A(t)$ を $e(t)={\bar {e}}(t)A(t)$ により定義すると、接続形式の定義より、 $e(0)\omega \left({dc \over dt}(0)\right)$ が成立する。ここで ${\nabla \over dt}e(t)$ は成分ごとの微分 $\left({\nabla \over dt}e_{1}(t),\ldots ,{\nabla \over dt}e_{n}(t)\right)$ の事である。 $\nabla$ が計量と両立すれば、 ${\bar {e}}(t)$ は正規直交基底である。よって $e(t)$ が正規直交基底であれば、 $e(t)={\bar {e}}(t)A(t)$ より $A(t)$ は回転変換であり、 $A(t)$ の微分は歪対称行列である。