対数正規分布 性質

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対数正規分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/25 04:12 UTC 版)

性質

平均・分散

対数正規分布 Λ(μ, σ²) に従う確率変数 X に対し、平均 E(x) および分散 V(x) はそれぞれ以下で与えられる。

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=e^{\mu +\sigma ^{2}/2},\\\operatorname {V} (X)&=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1).\end{aligned}}$

再生性

対数正規分布 Λ(μ₁, σ₁²) に従う確率変数 X と対数正規分布 Λ(μ₂, σ₂²) に従う確率変数 Y が互いに独立であるとき、確率変数の積 XY は対数正規分布 Λ(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²) に従う。

この性質は正規分布が再生性を有することから導かれる。

中心極限定理の類似

正の値を取る独立同分布に従う確率変数 X₁, …, X_n が条件

${\begin{aligned}\mu &=\operatorname {E} (\ln X_{i})<\infty \\\sigma ^{2}&=\operatorname {V} (\ln X_{i})<\infty \end{aligned}}$

を満たすならば、積 X₁…X_n は漸近的に対数正規分布 Λ(nμ, nσ²) に従う。