媒介変数 概観

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媒介変数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/06 01:43 UTC 版)

概観

補助的な変数を含む函数

函数を定義することには、一つまたは複数の変数を、独立変数として指定することが含まれる。補助変数を含む形で函数を定義することもできるが、ふつう補助変数はその函数のとる引数としてはリストしない。補助変数を含めて考えるとき、実際には一つの函数ではなく函数の族の全体を定めているのだと考えなければならない。例えば、一般の二次函数を

$$f(x):=ax^{2}+bx+c$$

と宣言する場合、この函数の引数は x であり、a, b, c は（a がゼロでないという条件を満たす）「任意定数」である。この「任意定数」 a, b, c の値を一つ決めるごとに個々の特定の二次函数が決定されると考えることができるという意味で、a, b, c はこの二次函数の族のパラメータである。二次函数のグラフを描いたとき、パラメータ a が放物線の形を決定しており、パラメータは個々の二次函数を特徴付ける量である。

函数がパラメータに依存して決まることを陽に表すために、パラメータを函数名に含めてることができる。例えば、底 b-の対数を定義するのに定義式として

$$\log _{b}(x):={\frac {\log(x)}{\log(b)}}$$

と書けば、左辺で対数函数の記号 log に付けられた添字 b は今どの対数が用いられているかを指し示すパラメータである。このパラメータは対数函数の引数ではなく、例えば微分 (log_b x)′ = d(log_b x)/dx を考えるときなどには「定数」として扱われる。 厳密さを要しない場面では、慣習的な手段として（あるいは歴史的経緯から）函数の定義に現れるすべての記号をパラメータと呼ぶこともあるが、函数の定義においてどの記号を変数と見るかパラメータと見るかという選択を変えれば、その函数がどのような数学的対象であるかということ自体も変化しうる。例えば下降階乗冪

$$n^{\underline {k}}:=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$$

の概念は、（k を定数（パラメータ）と見るとき）n を変数とする多項式函数を定義するが、（n をパラメータとして止めるとき）k を変数とする多項式函数ではない（実際、少なくとも非負整数しか引数に取れない）。このような状況をより厳密に言い表すには、典型的には（パラメータとしたい記号まで全部変数として扱った）多変数の函数

$$(n,k)\mapsto n^{\underline {k}}$$

を考察の最も基本的な対象として考え、カリー化などを用いてより少ない変数を持つ函数を定義することになる。

パラメータを含む函数の全体をひとつの「パラメータ付けられた族」(parametric family), すなわち函数の添字付けられた族と見ることはしばしば有用である。

解析幾何学

解析幾何学において曲線は区間 I から適当な空間（例えば $\mathbb {R} ^{2}$）への連続写像 f により与えられる。この写像 f は径数付曲線と呼ばれる。 例えば、原点を中心とする半径 1 の円は

$$f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}:t\mapsto (\cos t,\sin t)$$

と表わすことができる。このような表示は径数表示、あるいは媒介変数表示と呼ばれる。原点を中心とする半径 1 の円は三角関数の恒等式 $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$ を用いて媒介変数 t を消去すれば

$$x^{2}+y^{2}=1$$

と表わすこともできる。このような表示は陰関数表示（陰伏関係式）と呼ばれる。

連続写像により写される終域が位相群で、径数の加法が群の構造を保つとき一径数群と呼ばれる。

解析学

解析学において、補助変数に依存する積分をしばしば考える。例えば

$$F(t)=\int _{x_{0}(t)}^{x_{1}(t)}f(x;t)\,dx$$

において t は左辺の函数 F の引数であるが、同時に右辺の積分がそれに依存してきまるという意味でパラメータである。右辺の積分の評価に際して t は一貫して「定数」として扱われる（つまり、その意味ではパラメータであると考えるべきである）。しかし F が t の異なる値に対して値をどう変えるかを知りたいならば t は変数として扱われなければならない。なお x は「積分変数」と呼ばれる見かけの変数 (dummy variable) である（これも紛らわしいことに積分のパラメータと呼ぶことがある）。

論理学

論理学において開述語 (open predicate) に引き渡される（あるいは、開述語が引数にとる）項を「パラメータ」と呼び、その述語の中で局所的に定義されるパラメータを「変項」と呼び分ける場合がある。この余分な区別は代入を定義するときの面倒にたいして効果がある（この区別が無いとき、変数の取り込みを避けるためには特別の注意を要する）。大抵の文献では、単に開述語に引き渡される項という意味で変項と呼んで、代入の定義において自由変数と束縛変数とを区別するという手段をとる。