右連続左極限 右連続左極限の概要

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右連続左極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/17 00:45 UTC 版)

これと関連する二つの概念に、左右を入れ替えた左連続右極限関数と、定義域の各点において片側連続片側極限関数がある。

定義

累積分布函数は càdlàg 函数である。

距離空間 (M, d) および E ⊆ R に対して、関数 ƒ: E → M が右連続左極限 (càdlàg) であるとは、任意の t ∈ E において

• 左極限 ƒ(t−) := lim_s↑t ƒ(s) が存在し、
• 右極限 ƒ(t+) := lim_s↓t ƒ(s) が存在してかつ ƒ(t) に等しい

ときにいう。つまり、càdlàg 函数 ƒ は右連続かつ左極限を持つ。

例

• 任意の連続函数は càdlàg である。
• 定義により任意の累積分布関数は càdlàg である。例えば点 r における累積値は r 以下であるような確率 P(x ≤ r) に対応する。言い換えれば、両側分布に対して考える半開区間 (−∞, r] は右閉である。
• 開区間上定義された任意の凸関数 f の右微分 f₊' は単調増大 càdlàg 関数である。

スコロホッド空間

E から M への càdlàg 関数全体の成す空間をしばしば D(E; M) あるいは単に D と書いて、スコロホッド空間 (Skorokhod space) と呼ぶ（ソヴィエトの数学者アナトリー・スコロホッドに因む）。スコロホッド空間には、直観的に言えば「時間と空間を少し飛び跳ねる」こと ("wiggle space and time a bit") が許されるような位相を入れることができる（旧来的な一様収束の位相では「空間を少し飛び跳ねる」ことしかできない）。簡単のため、E = [0, T] および M = Rⁿ ととる（より一般の構成については文献 (Billingsley 1995)を見よ）。

まずは連続度に対応する類似の概念 ϖ′_ƒ(δ) を定義せねばならない。任意の F ⊆ E に対して、

$w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|$

とおき、δ > 0 に対して càdlàg 度 (càdlàg modulus) を

$\varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i}))$

なるものと定める。ただし、下限は任意の分割 Π = {0 = t₀ < t₁ < … < t_k = T} (k ∈ N, かつmin_i (t_i − t_i−1) > δ) に亙って取る。この定義は（通常の連続度が不連続関数に対して意味を持つのと同様に）càdlàg でない ƒ に対しても意味を持ち、ƒ が càdlàg であるための必要十分条件は ϖ′_ƒ(δ) → 0 (as δ → 0) であることが示せる。

いま、Λ は E から E への狭義単調増大連続全単射（これらは「時間を飛び跳ねる」）全体の成す集合とする。E 上の一様ノルムを

$\|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|$

と書くとき、D 上のスコロホッド距離 (Skorokhod metric) σ を

$\sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\}$

と定める。ここで I: E → E は恒等写像である。直観的な「飛び跳ね」("wiggle") の言葉で言えば、||λ − I|| は「時間を飛び跳ねる」大きさを測るものであり、||ƒ − g ∘ λ|| は「空間を飛び跳ねる」大きさを測るものである。

このスコロホッド距離函数 σ が実際に距離関数となることが示せる。σ の生成する位相 Σ を D 上のスコロホッド位相と呼ぶ。

スコロホッド空間の性質

一様位相の一般化

E 上の連続関数の空間 C は D の部分空間であり、スコロホッド位相を C に相対化したものは、C 上の一様位相に一致する。

コンパクト性

D はスコロホッド距離 σ に関して完備でない (Billingsley 1999) けれども、位相的に同値な距離 σ₀ が存在して D が完備となるようにすることができる。

可分性

σ あるいは σ₀ の何れに関しても D は可分である。従って、スコロホッド空間はポーランド空間である。

スコロホッド空間の緊密性

アルツェラ–アスコリの定理を応用して、スコロホッド空間 D 上の確率測度の列 (μ_n)_n=1,2,… が緊密であるための必要十分条件は以下の二条件:

$\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0$

および

$\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0$

を満足することであることが示せる。

代数構造および位相構造

スコロホッド位相および関数の点ごとの和のもとで、D は位相群を成さない。これは例えば

E = [0,2) を単位区間として、f_n = χ_[1-1/n,2) ∈ D は指示関数の列とする。スコロホッド位相に関して f_n → χ_[1,2) という事実にも拘らず、関数列 f_n − χ_[1,2) は 0 に収束しない。

のような例がある。