二項定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/11 03:50 UTC 版)
応用
三角函数の多倍角公式
複素数に対する二項定理とド・モアブルの定理を合わせれば、正弦函数、余弦函数の多倍角公式が得られる。ド・モアブルの公式によれば
が成り立つから、二項定理を用いて右辺を展開して実部と虚部を比較すれば cos(nx) および sin(nx) に対する公式を得る。
n = 2 の場合は、
から倍角公式
を得る。
n = 3 の場合は、
から三倍角公式
を得る。
一般に
となる。
ネイピア数の級数表示
ネイピア数 e を極限
で定義するとき、二項定理と単調収束定理を用いれば e の級数表示を得る。
であり、これは n に関して単調増加である。この和の第 k 項
は n → ∞ のとき に収束する。 故に e は級数として
と書ける。
冪函数の微分
自然数 n に対する冪函数 f(x) = xn の導函数を定義に基づいて求めるには、二項冪 (x + h)n を展開すればよい。
一般ライプニッツの方則
2つの函数の積の高階導函数の公式は、一般のライプニッツの法則 (Leibniz rule) と呼ばれ、二項定理と同様の形式になる[14]:
逆に、ライプニッツの公式から二項定理を導くこともできる。実際、t の函数 exp((x + y)t) = exp(xt)exp(yt) の両辺を t で n 回微分すると、
を得るから、両辺を exp(xt)exp(yt) で除して所期の式を得る。
脚注
参照
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ a b c d Coolidge, J. L. (1949). “The Story of the Binomial Theorem”. The American Mathematical Monthly 56 (3): 147-157 .
- ^ a b c Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). A history of Chinese mathematics. Springer
- ^ a b Biggs, N. L. (1979). “The roots of combinatorics”. Historia Math. 6 (2): 109-136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
- ^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ Landau, James A. (1999年5月8日). “Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle” (mailing list email). Archives of Historia Matematica. 2007年4月13日閲覧。[リンク切れ]
- ^ 『シュティーフェル』 - コトバンク
- ^ a b c Kline, Morris (1972). History of mathematical thought. Oxford University Press. p. 273
- ^ Bourbaki, N. J. Meldrum訳 (1998-11-18). Elements of the History of Mathematics Paperback. ISBN 978-3540647676
- ^ 『二項定理の意味と係数を求める例題・2通りの証明』 - 高校数学の美しい物語
- ^ Binôme de Newton : démonstration par récurrence. - YouTube
- ^ Binôme de Newton : approche par dénombrement. - YouTube
- ^ E.ハイラー、G.ヴァンナー 『解析教程(上)』p.29 シュプリンガー・ジャパン
- ^ Seely, Robert T. (1973). Calculus of One and Several Variables. Glenview: Scott, Foresman. ISBN 0-673-07779-9
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