二項係数
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関連項目
- 二項変換
- 中心二項係数
- クンマーの定理:二項係数の素冪因子に関する—
- リュカの定理
- パスカルの三角形における各数の重複度
- ダビデの星の定理
- 孫の奇妙な等式
- ニュートン級数の一覧
- 三項係数
- ポッホハマー記号
脚注
参考文献
- Ash, Robert B. (1990) [1965]. Information Theory. Dover Publications, Inc.. ISBN 0-486-66521-6
- Benjamin, Arthur T.; Jennifer, Quinn (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-333-7
- Bryant, Victor (1993). Aspects of Combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41974-3
- Flum, Jörg; Grohe, Martin (2006). Parameterized Complexity Theory. Springer. ISBN 978-3-540-29952-3
- Fowler, David (1996-01). “The binomial coefficient function”. The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 103 (1): 1-17. doi:10.2307/2975209. JSTOR 2975209
- Goetgheluck, P. (1987). “Computing binomial coefficients”. American Math. Monthly 94: 360-365. doi:10.2307/2323099.
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics (Second ed.). Addison-Wesley. pp. 153-256. ISBN 0-201-55802-5
- Higham, Nicholas J. (1998). Handbook of Writing for the Mathematical Sciences. SIAM. p. 25. ISBN 0-89871-420-6
- Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (Third ed.). Addison-Wesley. pp. 52-74. ISBN 0-201-89683-4
- Singmaster, David (1974). “Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients”. Journal of the London Mathematical Society 8 (3): 555-560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555.
- Shilov, G. E. (1977). Linear Algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63518-7
外部リンク
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Binomial coefficients”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Andrew Granville (1997). “Arithmetic properties of binomial coefficients I. Binomial coefficients modulo prime powers”. CMS Conf. Proc 20: 151-162 .
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注釈
- ^ (Graham, Knuth & Patashnik 1994) を参照、これはまた k < 0 のとき (n
k) = 0 とする。別の一般化としてガンマ函数を用いて k < 0 のとき (n
k) に非零な値を割り当てることもできるが、それは多くの二項係数に関する公式を満足せず、これを定義として広汎に適用することはできない。そのように非零値を選ぶものの一つとして、見た目の美しい Holton (1997)の「パスカルの風車」("Pascal windmill") が導かれる[4]が、これはパスカルの等式も(原点において)成り立たない。 - ^ これはテイラーの定理の離散版として理解でき、ニュートン多項式と近しい。この形の交代和はネールント–ライス積分として表せる。
出典
- ^ Lilavati Section 6, Chapter 4 (see Knuth (1997)).
- ^ Higham (1998)
- ^ Shilov (1977, p. 92)
- ^ Holton, Pedersen (1997), Mathematical Reflections: In a Room With Many Mirrors, Springer, ISBN 978-1-4612-1932-3
- ^ Thomas, Muir (1904). “Note on selected combinations”. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. doi:10.1017/S0370164600007768 .
- ^ Boardman, Michael (2004), “The Egg-drop numbers”, Mathematics Magazine 77 (5): 368-372, JSTOR 3219201, MR1573776 , "it is well known that there is no closed form (that is, direct formula) for the partial sum of binomial coefficients".
- ^ see induction developed in eq (7) p.1389 in Aupetit, Michael (2009), “Nearly homogeneous multi-partitioning with a deterministic generator”, Neurocomputing 72 (7-9): 1379-1389, doi:10.1016/j.neucom.2008.12.024, ISSN 0925-2312.
- ^ Ruiz, Sebastian (1996). “An algebraic identity leading to Wilson's theorem”. The Mathematical Gazette 80 (489): 579-582. doi:10.2307/3618534 .
- ^ Knuth 1997, p. 30.
- ^ see e.g. Ash (1990, p. 121) or Flum & Grohe (2006, p. 427).
- ^ Munarini, Emanuele (2011), “Riordan matrices and sums of harmonic numbers”, Applicable Analysis and Discrete Mathematics 5 (2): 176-200, doi:10.2298/AADM110609014M, MR2867317.
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