コンパクト空間 無限次元空間におけるコンパクト性

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コンパクト空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/10 03:23 UTC 版)

無限次元空間におけるコンパクト性

すでに述べたように、有限次元ベクトル空間やより一般に有限次元の完備リーマン多様体の部分集合に対してはコンパクト性は有界閉集合と等しい。一方無限次元の空間の場合は、どのような空間にどのような位相を入れるかにより結論が異なる。

無限次元ベクトル空間

ノルムから位相を入れた場合

ノルムから位相を入れたベクトル空間（ノルム空間）に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う：

命題 ― $\mathbb {R}$もしくは$\mathbb {C}$上のノルム空間Vの閉単位球がコンパクトである必要十分条件はVが有限次元である事である。

この定理を具体例を通して説明すると、例えばℓ²空間

$\ell ^{2}=\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mid \sum _{n}x_{n}{}^{2}<\infty \}$

にℓ²ノルム

$\|x\|=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}{}^{2}\right)^{1 \over 2}$

から定まる距離を入れた空間の閉単位球

$B=\{x\in \ell ^{2}\mid \|x\|\leq 1\}$

はコンパクトではない。

実際、

$\mathbb {e} _{n}=(\delta _{n,k})_{k\in \mathbb {N} }$

とすると（ここでδ_n,kはクロネッカーのデルタ）、

$\|\mathbb {e} _{n}-\mathbb {e} _{m}\|={\sqrt {2}}$ for n≠m

であるので、$(\mathbb {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B$のいかなる部分列$(\mathbb {e} _{n_{i}})_{i\in \mathbb {N} }$もコーシー列の条件

$\lim _{i,j\to \infty }\|\mathbb {e} _{n_{i}}-\mathbb {e} _{n_{j}}\|=0$

を満たしえず、したがって$(\mathbb {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B$は収束部分列を持たない為点列コンパクトではなく、よってコンパクトでもない。

ℓ²空間の閉単位球Bがコンパクトにならない原因は、Bは有界であっても全有界ではないからである。実際、$\|\mathbb {e} _{n}-\mathbb {e} _{m}\|={\sqrt {2}}$ for n≠mであるので、$\varepsilon <{\sqrt {2}}/2$を満たす正数εに対しては、各$\mathbb {e} _{1},\mathbb {e} _{2},\ldots$を覆うために一つずつε-球を用いる必要があるので、可算無限個のε-球が必要となり、全有界ではない。

＊弱位相の場合

一方、無限次元空間であってもノルムから定まる位相以外の位相に関しては閉単位球がコンパクトになる事もある：

定理 (バナッハ・アラオグルの定理) ― Kを$\mathbb {R}$もしくは$\mathbb {C}$とする。このときK上のノルム空間Vの双対空間V^*に＊弱位相を入れると、(Vが無限次元であっても)V^*の閉単位球はコンパクトである。

ここでノルム空間Vの双対空間V^*はV上のK値連続線形写像全体を関数としての和と定数倍によりベクトル空間とみなしたものであり、＊弱位相とはx ∈ Vに対し、

$\mu _{x}\colon \alpha \in V^{*}\mapsto \alpha (x)\in K$

とするとき、μ_xが全て連続になるV^*上の最弱の位相の事である。なおV^*は作用素ノルムによりノルム空間とみなせ、上記の定理で言う「閉単位球」はこのノルムに関する閉単位球の事である。

＊弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する：

系 ― V*に＊弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト

なお、Vが再帰的であればV上の弱位相に関しても同様な事が成立する事が知られているが、再帰的でない場合には反例がある事が知られている。

注意しなければならないのは、＊弱位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても＊弱位相をいれたV^*が後述する局所コンパクトにはなっていない事を意味する。

コンパクト空間の直積

本節では位相空間の（有限個または無限個の）直積には２種類の位相が入り、コンパクト空間の無限個の直積に前者の位相を入れた場合はコンパクトになるが、後者の位相を入れた場合はそうなるとは限らない事を見る。

直積位相と箱型積位相

$(X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$を位相空間の族するとき、$\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }$には以下の２種類の位相が入る。

定義 (直積位相、箱型積位相) ― $(X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$を位相空間の族とする。このとき、

• 全ての射影$p_{\lambda }\colon \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\to X_{\lambda }$を連続にする最弱の位相を直積位相もしくはチコノフ位相という。
• $\{\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }\}$を開基とする位相を箱型積位相という。

これら２つの位相は有限個の直積$X_{1}\times \cdots \times X_{n}$を考えている場合は同一であるが、無限積を考えた場合には箱型積位相のほうが直積位相よりも強い（弱くない）位相になる。これを見るために直積位相を具体的に書き表すと、以下のようになる事が知られている：

定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、 直積位相は

${\Bigg \{}\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\ {\Bigg |}\ O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }$, 有限個のλを除いて$O_{\lambda }=X_{\lambda }{\Bigg \}}$

を開基とする。

Λが無限集合のときは、「有限個のλを除いて…」という条件が原因で、箱型積位相と差が生じる。例えば$\mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots$を$\mathbb {R}$の(可算)無限個のコピーとし、$U_{1},U_{2},\ldots$を$U=(0,1)$の無限個のコピーとするとき、直積

$\prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$

は直積位相に関して

$\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} _{i}$

の開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて…」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。

チコノフの定理

コンパクト空間の（有限個または無限個の）直積に直積位相位相を入れたものはコンパクトである：

定理 (チコノフの定理) ― $(X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$をコンパクトな位相空間の族とする。このとき直積$\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }$に直積位相を入れたものはコンパクトである。

なおチコノフの定理は(ZF公理系を仮定した上で)選択公理と同値である事が知られている。

チコノフの定理より例えば$\mathbb {R}$上の単位区間$I=[0,1]$の無限個のコピー$I_{1},I_{2},\ldots$の直積$\prod _{i\in \mathbb {N} }I_{i}$に直積位相を入れたものはコンパクトである。

一方$\prod _{i\in \mathbb {N} }I_{i}$に箱型積位相を入れたものはコンパクトではない。実際、$x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \prod _{i\in \mathbb {N} }I_{i}$に対し、ノルムを

$\|x\|_{\infty }=\sup _{i}|x_{i}|$

と定義すると、箱型積位相はこのノルムから定まる位相と一致する事を簡単に確かめる事ができる。そこで$\mathbb {e} _{n}=(\delta _{n,k})_{k\in \mathbb {N} }$として無限次元ノルム空間の場合と同様の議論でコンパクトでない事を示せる。