特性関数 (ゲーム理論の)
【英】：characteristic function
各提携に対し, その提携を形成し, 共同行動をとることによって獲得可能な利得の総和を表す関数である. 数学的にはプレイヤー全体の提携$N$の部分集合の全体から実数への関数である. 利得の総和が意味をもつためには条件(譲渡可能効用, 別払いの存在)が必要となるが,そのような条件が満たされない場合は特性関数値は各プレイヤーの獲得可能な利得ベクトルの集合となる.
特性関数 (確率変数の)
をもつ
で
は
は
特性関数 (確率論)
(特性関数 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/22 00:56 UTC 版)
確率論と統計学において、任意の確率変数に対する特性関数（とくせいかんすう、英: characteristic function）とは、その確率分布を完全に定義する関数である。したがって、確率密度関数や累積分布関数の代わりに特性関数を解析の基盤とすることもできる。確率変数の重み付き総和で分布を定義する単純な特性関数も存在する。
- ^ a b c Lukacs 1970.
- ^ Billingsley 1995.
- ^ Pinsky 2002.
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特性関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:53 UTC 版)
レヴィ分布の特性関数は以下の式で与えられる。 φ ( t ; μ , c ) = e i μ t − − 2 i c t . {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.} この関数は安定分布で使用される形式を用いると以下のように書ける。ただし α = 1/2, β = 1： φ ( t ; μ , c ) = e i μ t − | c t | 1 / 2 ( 1 − i sign ( t ) ) . {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~\operatorname {sign} (t))}.}
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特性関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:54 UTC 版)
分布の特性関数 ψ(z) は、4つのパラメータ α, β, γ, δ によって以下のように表すことができる。 φ ( z ) = exp [ i δ z − γ | z | α { 1 + i β sgn ( z ) ω ( z , α ) } ] {\displaystyle \varphi (z)=\exp \left[i\delta z-\gamma |z|^{\alpha }\left\{1+i\beta \operatorname {sgn}(z)\omega (z,\alpha )\right\}\right]} ω ( z , α ) = { tan π α 2 ( α ≠ 1 ) 2 π log | z | ( α = 1 ) {\displaystyle \omega (z,\alpha )=\left\{{\begin{matrix}\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}&(\alpha \neq 1)\\{\frac {2}{\pi }}\log |z|&(\alpha =1)\end{matrix}}\right.} ただし、0 < α ≤ 2, −1 ≤ β ≤ 1, γ> 0、sgn (x) は x の符号関数。α は特性指数と呼ばれ、0 < α ≤ 2 の範囲の値をとる安定分布を特徴づける最も重要な量である。安定分布の指数という場合は通常この α のことを指す。α は分布の裾の厚みの尺度であり、小さいほど裾が広い。歪度指数、あるいは非対称パラメータとも呼ばれる β は分布の対称性を支配し −1 ≤ β ≤ 1 の値をとり、β = 0 のときは左右対称な分布となる。位置母数 δ は分布全体を平行移動するパラメータである。規模母数 γ は X の縮尺を変更するパラメータである。
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特性関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 01:23 UTC 版)
ガンマ分布の確率変数を X とするとき、特性関数 φX(t) は ϕ X ( t ) = E ( e i X t ) = 1 ( 1 − i θ t ) k = ( λ λ − i t ) k {\displaystyle \phi _{X}(t)=E(e^{iXt})={\frac {1}{(1-i\,\theta \,t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{k}} で与えられる。 これはパラメータ（平均）θ とする指数分布の特性関数を k 乗したものに一致する。このことは、特に k を整数としたときに、パラメータ θ の指数分布に従う k 個の確率変数が独立であるとき、その和が形状母数 k、尺度母数 θ のガンマ分布に従うことを表している。
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特性関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/31 14:31 UTC 版)
特性関数は以下の式で与えられる。 φ ( u ) = exp ( i u μ ) ( α 2 − β 2 ( α 2 − ( β + i u ) 2 ) ) λ / 2 K λ ( δ α 2 − ( β + i u ) 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) {\displaystyle \varphi (u)=\exp(iu\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}}
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特性関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 17:01 UTC 版)
プレイヤー集合 N の部分集合の集合 2N 上に定義される実数値関数を特性関数（英: characteristic function）と呼ぶ。各提携 S ⊆ N に対して v(S) は提携 S のメンバーが協力することによって得られる便益の総計を表している。特性関数について仮定されることの多い性質として、優加法性（英: super-additivity）や凸性などが挙げられる。特性関数はプレイヤー間での効用の譲渡が可能な提携形の協力ゲームを構成するルールである。特性関数の詳細については提携形ゲームおよび協力ゲームの項目を参照。
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