ラグランジュ力学
(ラグランジュ形式 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/23 04:53 UTC 版)
ラグランジュ力学（ラグランジュりきがく、英語：Lagrangian mechanics）は、一般化座標とその微分を基本変数として記述された古典力学である。フランスの物理学者ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが創始した。後のハミルトン力学と同様にニュートン力学を再定式化した解析力学の一形式である。
ラグランジュ形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/09 03:48 UTC 版)
ラグランジュ形式において、作用汎関数はラグランジュ関数 L の積分 S [ q ] = ∫ t 0 t 1 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t {\displaystyle S[q]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt} として与えられる。ラグランジュ形式における力学変数は一般化座標 q である。一般化座標の変分 δq に対して作用の変分は δ S = [ p ( t ) δ q ( t ) ] t 0 t 1 + ∫ t 0 t 1 [ ∂ L ∂ q − p ˙ ( t ) ] δ q ( t ) d t {\displaystyle \delta S={\Big [}p(t)\,\delta q(t){\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[{\frac {\partial L}{\partial q}}-{\dot {p}}(t)\right]\delta q(t)\,dt} となる。ここで p は一般化座標に共役な一般化運動量である。最小作用の原理から導かれる運動方程式は δ S [ q ] δ q ( t ) = ∂ L ∂ q − p ˙ ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[q]}{\delta q(t)}}={\frac {\partial L}{\partial q}}-{\dot {p}}(t)=0} である。境界条件として δ q ( t 0 ) = δ q ( t 1 ) = 0 {\displaystyle \delta q(t_{0})=\delta q(t_{1})=0} あるいは q 0 = q ( t 0 ) , q 1 = q ( t 1 ) {\displaystyle q_{0}=q(t_{0}),~q_{1}=q(t_{1})} が課される。 力学変数が運動方程式に従うとき、作用は境界条件を与える q0, t0, q1, t1 の関数 S = S ( q 0 , t 0 ; q 1 , t 1 ) {\displaystyle S=S(q_{0},t_{0};q_{1},t_{1})} として表される。初期条件 q0, t0 は定数として扱い、終端条件 q1, t1 を変数とみなす。境界条件 q0, t0, q1, t1 の下での運動方程式の解を q ~ ( t 0 ) = q 0 , q ~ ( t 1 ) = q 1 {\displaystyle {\tilde {q}}(t_{0})=q_{0},~{\tilde {q}}(t_{1})=q_{1}} とし、境界条件 q0, t0, q1+Δq, t1+Δt の下での解を q ~ ′ ( t 0 ) = q 0 , q ~ ′ ( t 1 + Δ t ) = q 1 + Δ q {\displaystyle {\tilde {q}}'(t_{0})=q_{0},~{\tilde {q}}'(t_{1}+\Delta t)=q_{1}+\Delta q} とする。このとき作用の微分は Δ S = ∫ t 0 t 1 + Δ t L ( q ′ , q ˙ ′ , t ) d t − ∫ t 0 t 1 L ( q , q ˙ , t ) d t = p ( t 1 ) [ q ~ ′ ( t 1 ) − q ~ ( t 1 ) ] + L ( q ~ ( t 1 ) , q ~ ˙ ( t 1 ) , t 1 ) Δ t = p ( t 1 ) Δ q − [ p ( t 1 ) q ~ ˙ ( t 1 ) − L ( q ~ ( t 1 ) , q ~ ˙ ( t 1 ) , t 1 ) ] Δ t {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S&=\int _{t_{0}}^{t_{1}+\Delta t}L(q',{\dot {q}}',t)\,dt-\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q,{\dot {q}},t)\,dt\\&=p(t_{1})[{\tilde {q}}'(t_{1})-{\tilde {q}}(t_{1})]+L({\tilde {q}}(t_{1}),{\dot {\tilde {q}}}(t_{1}),t_{1})\,\Delta t\\&=p(t_{1})\,\Delta q-[p(t_{1})\,{\dot {\tilde {q}}}(t_{1})-L({\tilde {q}}(t_{1}),{\dot {\tilde {q}}}(t_{1}),t_{1})]\Delta t\\\end{aligned}}} となる。したがって、作用の偏微分は ∂ S ∂ q 1 = p ( t 1 ) , ∂ S ∂ t 1 = − E ( t 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}=p(t_{1}),~{\frac {\partial S}{\partial t_{1}}}=-E(t_{1})} である。ここで E はエネルギーである。
※この「ラグランジュ形式」の解説は、「最小作用の原理」の解説の一部です。
「ラグランジュ形式」を含む「最小作用の原理」の記事については、「最小作用の原理」の概要を参照ください。
ラグランジュ形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/30 08:58 UTC 版)
物質 X と電磁場 A が相互作用する系の作用積分は S X [ X ] + S A [ A ] + S int [ X , A ] {\displaystyle S_{X}[X]+S_{A}[A]+S_{\text{int}}[X,A]} と書かれる。相互作用項 Sint は一般に S int [ X , A ] = 1 c ∫ j μ A μ ( x ) − g d 4 x {\displaystyle S_{\text{int}}[X,A]={\frac {1}{c}}\int j^{\mu }A_{\mu }(x){\sqrt {-g}}\,d^{4}x} の形で書かれるため、4元電流密度は汎関数微分により j μ ( x ) = c − g δ S int [ X , A ] δ A μ ( x ) {\displaystyle j^{\mu }(x)={\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}} と表される。 詳細は「電磁ポテンシャル#ラグランジュ形式」を参照 微視的に見ると4元電流密度は荷電粒子の集合であり、4元電流密度は粒子を記述する力学変数 X の関数として書かれる。粒子の系がどのように記述されるかによって、相互作用項の具体形は変化し、それに伴って4元電流密度の具体形も変化する。
※この「ラグランジュ形式」の解説は、「4元電流密度」の解説の一部です。
「ラグランジュ形式」を含む「4元電流密度」の記事については、「4元電流密度」の概要を参照ください。
- ラグランジュ形式のページへのリンク
