変分法
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/12 03:32 UTC 版)
解析学の一分野、変分法（へんぶんほう、英: calculus of variations, variational calculus; 変分解析学）は、汎函数（函数の集合から実数への写像）の最大化や最小化を扱う。汎函数はしばしば函数とその導函数を含む定積分として表される。この分野の主な興味の対象は、与えられた汎函数を最大・最小とするような「極値」函数、あるいは汎函数の変化率を零とする「停留」函数である。
- ^ f の近傍とは、与えられた函数空間の元 y で定義域の全体において |y - f| < h を満たすもの全体の成す部分集合を言う。ここで正の数 h は近傍の大きさを決める定数である[7]。
- ^ 十分条件は後述
- ^ 一次変分 (first variation) は、変分、微分、一次の微分などとも呼ばれる。
- ^ 二次変分もまた二次の微分などとも呼ばれる。
- ^ 増分 ΔJ[h] および以下に現れる変分はy および h の双方に依存することに注意せよ。記述の簡素化のために、引数 y は省略されているが、例えば ΔJ[h] は ΔJ[y; h] のように書くのが意味の上では自然である[12]。
- ^ 汎函数 φ[h] が線型とは、函数 h, h1, h2 と実数 αに関して、φ[αh] = αφ[h] および φ[h1 +h2] = φ[h1] + φ[h2] を満たすことを言う[13]。
- ^ 函数 h = h(x) は実数 a, b に対して区間 a ≤ x ≤ b 上で定義されているものとすると、h のノルムはその最大の絶対値 ‖ h ‖ = max{|h(x)| : a ≤ x ≤ b}[14]
- ^ 汎函数が二次 (quadratic) であるとは、それが双線型汎函数の二つの引数を等しいと置いて得られることをいう。双線型汎函数は一方の変数について（他方の変数は固定して）それぞれ線型であることをいう[16]。
- ^ 他の十分条件については Gelfand & Fomin 2000 を参照。弱極小値に対する十分条件は Chapter 5: "The Second Variation. Sufficient Conditions for a Weak Extremum". p. 116. の定理、強極小値に対する十分条件は Chapter 6: "Fields. Sufficient Conditions for a Strong Extremum". p. 148. の定理で与えられている。
- ^ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A.. ed. Calculus of variations (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 3. ISBN 978-0486414485
- ^ a b c van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 0-387-40247-0
- ^ a b Ferguson, James (2004). "Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications". arXiv:math/0402357。
- ^ Dimitri Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.
- ^ Bellman, Richard E. (1954). “Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations”. Proc. Nat. Acad. Sci. 40 (4): 231–235. PMC 527981. PMID 16589462.
- ^ Kushner, Harold J. (2004年). “Richard E. Bellman Control Heritage Award”. American Automatic Control Council 2013年7月28日閲覧。 See 2004: Harold J. Kushner: regarding Dynamic Programming, "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."
- ^ Courant, R; Hilbert, D (1953). Methods of Mathematical Physics. Vol. I (First English ed.). New York: Interscience Publishers, Inc. p. 169. ISBN 978-0471504474
- ^ Gelfand & Fomin 2000, pp. 12–13
- ^ Gelfand & Fomin 2000, p. 13
- ^ Gelfand & Fomin 2000, pp. 14–15
- ^ Gelfand & Fomin 2000, pp. 11–12, 99
- ^ Gelfand & Fomin 2000, p. 12, footnote 6
- ^ Gelfand & Fomin 2000, p. 8
- ^ Gelfand & Fomin 2000, p. 6
- ^ Gelfand & Fomin 2000, pp. 11–12
- ^ Gelfand & Fomin 2000, pp. 97–98
- ^ Gelfand & Fomin 2000, p. 99
- ^ Gelfand & Fomin 2000, p. 100
- ^ Gelfand & Fomin 2000, p. 100, Theorem 2
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