素イデアル 素イデアルの概要

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素イデアル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/14 15:35 UTC 版)

可換環に対して

定義

可換環 R のイデアル P ≠ R が素イデアルであるとは、

• a, b ∈R, ab ∈P のとき、a ∈ P または b ∈ P

を満たすことを言う^[2]。

環 R の素イデアルのなす集合は Spec(R) と表される。

例と性質

• 有理整数環 Z において、素数 p の倍数全体が成すイデアル pZ は素イデアルである。

一般に、可換環 R において、その素元 p が生成するイデアル pR は 0 でない素イデアルになる。これは逆も正しい。すなわち、p ∈ R に対し単項イデアル pR ≠ 0 が素イデアルならば、p は素元である。

• 一般に、R, S を可換環、f: R → S を環の準同型としたとき、f による S の任意の素イデアルの引き戻し f⁻¹(S) は、R の素イデアルになる。
• 可換環 R のイデアル I が素イデアルであることと、剰余環 R/I が整域であることは同値である^[2]。とくに、0 が素イデアルであることと R が整域であることは同値である。
• デデキント整域のすべての 0 でない真のイデアルは、素イデアルの積に一意的に分解する^[2]。

局所化

${\displaystyle R}$ を環、${\displaystyle P}$ をその素イデアルとすると、集合 ${\displaystyle S=R\setminus P}$ は積閉集合となる。${\displaystyle S}$ による ${\displaystyle R}$ の局所化 ${\displaystyle S^{-1}R}$ を ${\displaystyle R_{P}}$ と書く。これは ${\displaystyle PR_{P}}$ を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 ${\displaystyle R_{P}/PR_{P}}$ を ${\displaystyle \kappa (P)}$ などと書くこともある^[3]。

素因子

詳細は「伴う素イデアル」を参照

素イデアル P ∈ Spec(R) が R 加群 M のある元 x ∈ M の零化イデアル ann(x) と一致するとき、P を M の素因子 (英: prime divisor) または伴う素イデアル（英: associated prime ideal）という^[4][5]。M の随伴素因子がなす集合を Ass_R(M) あるいは Ass(M) と表す。Ass_R(M) の（包含関係について）極小な素イデアルを孤立素因子といい、これら以外の素因子を非孤立あるいは埋め込まれた素因子という。R がネーター環のとき、随伴素因子は非正則元や加群の台とも関連があり、準素分解で重要な概念である。

可換とは限らない環に対して

定義

単位的環 R のイデアル P が素イデアルであるとは、

P ≠ R かつ、任意のイデアル A, B ⊆ R に対して、AB ⊆ P ならば A ⊆ P または B ⊆ P

を満たすことを言う。

性質

イデアル P ≠ R に対して以下の条件は同値である^[6][7]。

• P は素イデアル
• a, b ∈ R に対し、(a)(b) ⊆ P ならば a ∈ P または b ∈ P　（ここで、(a) = RaR）
• a, b ∈ R に対し、aRb ⊆ P ならば a ∈ P または b ∈ P
• 左イデアル A, B に対し、AB ⊆ P ならば A ⊆ P または B ⊆ P
• 右イデアル A, B に対し、AB ⊆ P ならば A ⊆ P または B ⊆ P
• R/P は素環

特に単純環は素環なので極大イデアルは素イデアルである。