確率要素

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/21 02:32 UTC 版)

昨今の慣例では〈確率要素〉を扱う際の終域は位相線型空間であることが多いが、しばしば部分集合の特別な σ-代数を備えるバナッハ空間やヒルベルト空間であることもある。

定義

(Ω, ℱ, P) を確率空間とし、(E, ℰ) を可測空間とする。E に値を取る確率要素とは、(ℱ, ℰ)-可測であるような関数 X: Ω→E のことを言う^[2]。すなわち、任意の B ∈ ℰ に対して B の逆像が ℱ に含まれるような関数 X （つまり、{ ω : X(ω) ∈ B } ∈ ℱ が成り立つような関数 X）のことを、確率要素と言う。

E に値を取る確率要素はしばしば、E-値確率変数と呼ばれる。

$\mathbb {R}$ を実数空間、 ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ をそのボレルσ-代数、 $(E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ としたとき、確率要素の定義は古典的な確率変数の定義と一致する。

バナッハ空間 $B$ に値を取る確率要素 $X$ の定義は、一般的に、すべての有界線形汎関数が可測であるような B 上の最小の σ-代数を役立てるものと理解される。この場合の同値な定義として、すべての有界線形汎関数 f に対して $f\circ X$ が確率変数であるならば、確率空間上の写像 $X:\Omega \rightarrow B$ は確率要素である、というものがある。それはまた、 $X$ が弱可測関数であることとも同値である。