分解体 分解体の概要

分解体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/08/21 01:22 UTC 版)

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定義

K 上の多項式 p(X)(最小)分解体とは、K拡大 L であって、L において p が一次因子 (Xai) ∈ L[X] の積

に分解され、なおかつ L がこれら根 ai によって K 上生成されるときに言う。したがって拡大体 Lp が分解するような K の拡大体の中で、拡大次数英語版が最小のものになる。そのような分解体の存在と同型を除く一意性を証明することができる。そのような同型の取り方の自由度は、多項式 pガロワ群と呼ばれる(p分離的であるものとする)。

  • 実数体 R 上の二次式 x2 + 1 の分解体は複素数体 C である。
  • 有理数体 Q 上の二次式 x2 − 2 の分解体は二次体 である。
  • 素数 p とそのべき q = pn に対して、素体 GFp 上の多項式 xqx の分解体は有限体 GFq である。

三次方程式の例

例えば、K有理数Q であり、

P(X) = X3 − 2

のとき、P(X) の分解体 L は 1 の原始立方根と 2 の立方根を含む。 従って、

であり、LK = Q の6次拡大である。ここで、

は、1 の立方根である。

その他の例

  • 標数 7 の素体 GF7 上の二次式 x2 + 1 の分解体は、位数 49 のガロア体 GF49 である。−1 は GF7 上平方根を持たないからである[1]
  • GF7 上の二次式 x2 − 1 の分解体は、GF7 である。 x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) と GF7 で一次式の積に因数分解できるからである。

事実

K の拡大体 L が、K 上の多項式からなる適当な集合に対して、同時にそれら全ての多項式の(それを一次式の積に分解することができるという意味で)分解体となっているとき、LK正規拡大であると言う。

K を含む代数閉体 A を固定して考えるとき、拡大 A/K の中間体で K 上の多項式 p の分解体となるものがただ一つ存在し、それは pA におけるK に全て添加して得られる体に他ならない。K複素数体の部分体ならば分解体の存在については直ちにいえるが、一般には代数閉包の存在がこの分解体に対する結果の「ある種の極限」として証明されることもしばしばであるので、循環論法を避けるためにはこれらは独立に証明されなければならない。

K分離拡大 K' に対し、K' のガロワ閉包 (Galois closure) L は分解体の一種で、KK' を含む最小のガロワ拡大を言う。そのようなガロワ閉包は各元 aK'K 上の最小多項式として得られる全ての K-係数多項式に対する最小分解体を含まなければならない。


  1. ^ すべての元の二乗を計算すればわかるが、7 は 4 を法として 1 に合同でないことからもわかる。


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