フェルミエネルギー バンド構造

ウィキペディア

フェルミエネルギー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/28 18:38 UTC 版)

バンド構造

熱力学的平衡状態にある様々な材料における電子状態の占有率を示した図。ここで、高さはエネルギーに対応し、横幅はその材料のそのエネルギーにおける状態密度に対応する。色の濃さはフェルミ・ディラック分布に従う（黒: 完全占有、白: 完全非占有）。金属と半金属ではフェルミ準位 E_F は少くとも一つのバンドの内部にある。絶縁体および半導体ではフェルミ準位はバンドギャップ中にある。ただし、半導体ではバンドがフェルミ準位の十分近くにあり、そのバンドを電子または正孔が熱占有する。

固体のバンド理論では、電子のエネルギー固有状態はバンド構造を形成する。結晶中の電子のエネルギーはバンド構造を形成する。電子はバンド構造中の1粒子エネルギー固有状態 ε を占有する。この1粒子描像は近似ではあるが、電子のふるまいの理解を容易にし、正しく適用すれば一般的に正しい結果を与える。

物質のバンド構造中の E_F の位置は、電子のふるまいを決定する上で重要となる。フェルミ準位は現実のエネルギー準位に必ずしも対応しておらず（絶縁体でのフェルミ準位はバンドギャップの中にある）、バンド構造の存在も必要としない。

金属中の電子

金属中の自由電子模型では、金属中の電子はフェルミ気体を作ると考えることができる。金属のフェルミエネルギーは、絶対零度の金属中の電子をバンドの底から詰めていき、その数が系の全電子数になったところの電子のエネルギーである。

金属や半金属、縮退半導体では、 E_F は非局在バンドの中にある。 E_F 近くの多数の状態は熱的に活性で、容易に電流を運ぶ。

金属の伝導電子の数密度$N/V$はおよそ10²⁸から10²⁹ electrons/m³であり、通常の固体物質での原子の典型的な密度でもある。 この数密度からフェルミエネルギーを求めると、次のオーダーになることがわかる。

$E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\mathrm {e} }}}\left(3\pi ^{2}\ 10^{28\ \sim \ 29}\ \mathrm {m} ^{-3}\right)^{2/3}\approx 2\ \sim \ 10\ \mathrm {eV}$

半導体・絶縁体中の電子

半導体や絶縁体の場合、フェルミエネルギーが伝導帯と価電子帯の間のバンドギャップの中にあり、エネルギー準位が存在しない。よって金属などでは成り立っていた「フェルミエネルギー ＝ フェルミ粒子が占有している最も高いエネルギー準位」は、半導体・絶縁体では成り立たない。またフェルミエネルギーでのフェルミ分布関数の値1/2に、占有数の期待値という意味は無い。

真性半導体のフェルミエネルギー$E_{\mathrm {i} }$は、伝導帯のエネルギー$E_{\mathrm {C} }$、価電子帯のエネルギー$E_{\mathrm {V} }$、有効状態密度$N_{\mathrm {C} }$、$N_{\mathrm {V} }$を用いて次のように表される。

$E_{i}={\frac {E_{\mathrm {C} }+E_{\mathrm {V} }}{2}}+{\frac {1}{2}}kT\ln {\frac {N_{\mathrm {V} }}{N_{\mathrm {C} }}}$

この第2項目は小さく、バンドギャップのほぼ中央に位置する。

非縮退半導体のフェルミエネルギーE_Fは、真性キャリア密度$n_{\mathrm {i} }$、伝導帯の電子密度$n$、価電子帯の正孔密度$p$を用いて次のように表せる。

$E_{\mathrm {F} }=E_{\mathrm {i} }+kT\ln {\frac {n}{n_{\mathrm {i} }}}=E_{\mathrm {i} }-kT\ln {\frac {p}{n_{\mathrm {i} }}}$

ドープ量が多いほど、フェルミエネルギーの位置はバンド端の近くになる。

絶縁体では、 E_F は大きなバンドギャップの中にあり、電荷担体の存在しうる（有限の状態密度を持つ）バンドから遠く離れている。

半導体や半金属においてバンド構造に対する E_F の位置は、ドーピングやゲーティングによってかなりの程度コントロールすることができる。これらのコントロールは電極によって固定されている E_F を変えるわけではなく、全体のバンド構造を上下している（時にはバンド構造の形も変える）。半導体のフェルミ準位についての詳細は、 などを参照。