ほとんど整数 ラマヌジャンの定数

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ほとんど整数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/21 04:28 UTC 版)

ラマヌジャンの定数

1975年のエイプリルフールに、マーティン・ガードナーはサイエンティフィック・アメリカン誌のコラム「数学ゲーム」(Mathematical Games) において、次のようなジョークを発表した。一見してとても整数とは思われない数

$e^{\pi {\sqrt {163}}}$

が整数 262537412640768744 に等しいということは、かのラマヌジャンも予想していたことだという。実際には、ゲルフォント＝シュナイダーの定理から超越数であることが分かり、近似値は 262537412640768743.99999999999925007… である。この数が整数に近い理由は、保型関数の理論を用いて説明される。背景には、虚二次体 $\scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})$ の類数が 1 であるという事実がある。類数が 1 であるような虚二次体 $\scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ は、d が

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 （オンライン整数列大辞典の数列 A3173）

のいずれかのものに限ることが知られており、これらの数から整数に近い一連の数

${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.0000013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.00000000000075\end{aligned}}$

が得られる。このうち、最後のものをラマヌジャンの定数という。これはサイモン・プラウフによって名付けられたものであり、前述のジョークに由来している。ラマヌジャン自身は類似の数に言及しているものの、直接に関与したという事実は知られていない。