接空間

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接ベクトル空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:41 UTC 版)

接ベクトル空間 T_xM とx ∈ M を通る曲線に沿った接ベクトル v ∈ T_xM

多様体上の接ベクトル空間（せつベクトルくうかん、英語: tangent vector space）あるいは 接空間（英語: tangent space）とは、多様体上の各点で定義されるベクトル空間であり、その点における全ての接ベクトルの集合である。接ベクトル空間は、ユークリッド空間内の曲線や曲面における接ベクトルの一般化ともいえる。

概要

接ベクトル空間は、多様体上の点ごとに定義されるベクトル空間である。接ベクトル空間の元を接ベクトルという。全ての点で接ベクトルが定まっているとベクトル場というものが定義できる。ベクトル場は多様体の形を調べたり、多様体上の粒子の運動を調べたりするのに非常に役立つ概念である。物理学でいえば電磁場や重力場などを記述でき、そのベクトル場の中に置かれた粒子はその点での接ベクトルの向いている方向に沿って移動していく。本項目で扱うのは、そのベクトル場の基礎となるある 1 点の上の接ベクトル空間である。

1 ≤ r ≤ ∞ とする。 m 次元 C^r 級多様体 M と、その中の C^r 級曲線

$\phi \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to M$