局所コンパクト性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:22 UTC 版)
任意の局所コンパクトな位相体は第一可算公理を満たす。しかし、逆は必ずしも成り立つとは限らない。例えば、有理数体に絶対値により得られる距離による位相を入れた場合、第一可算公理を満たすが局所コンパクトではない。 一般に第一可算公理を満たす位相体に対しては、以下のことが成立する。 第一可算公理を満たす位相体を K とし、局所コンパクトな位相体を K′ とする。R を K の稠密な部分環とし、R′ を K′ の部分環で、R と同型であるとする。f を R から R′ への同型写像としたとき、K から K′ の中への同型写像 φ で、φ を R に制限したものが f に一致するものが唯一存在する。
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