一様連続

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一様連続

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/02 10:21 UTC 版)

一様連続性の定義のアニメーション。ε-δ論法における δ が点 a に依存せず（＝「一様に」）定められなければならないという点で通常の連続性よりも強い定義である。

一様連続（いちようれんぞく、英: uniformly continuous）とは、数学における関数の連続性を強めたもので、イプシロン-デルタ論法によって定式化される。直観的には「グラフを横に少しずらしても縦のずれが一様に小さいこと」とも言える^[1]。

大雑把に言って、関数の一様連続性とは、引数 x の変化が小さいと関数値 f(x) の変化も一様に小さいことを指す。このとき、f(x) の変化の度合いは x の変化の度合いにのみ依存し、x の値にはよらない。つまり、f の定義域で x₁ と x₂ が十分に近ければ（x の値によらず）、f(x₁) と f(x₂) は近くなることである。

一様連続ならば連続であるが、逆は一般には成り立たない。しかし定義域が有界閉区間であれば、その区間上連続な関数は一様連続であることが知られている（ハイネ・カントールの定理）。

一様連続性の定義はユークリッド空間や、それを一般化した概念である距離空間において定義される。さらに一般に一様空間上でも定義可能である。

定義

以下では距離空間における定義を述べるが、ユークリッド空間における定義は、以下の X, Y をそれぞれ R^m, Rⁿ とし、距離関数 d_X, d_Y をそれぞれ R^m, Rⁿ 上のユークリッド距離で与えればよい。

定義

${\displaystyle (X,d_{X}),\,(Y,d_{Y})}$

実数上で定義された2次関数 f: x ↦ x² は一様連続ではない。実際、関数の値の変化は、どれほど変数の値の変化が小さくとも、変数が原点から遠ざかればいくらでも大きくなる。

性質

• 関数が連続であるからといって一様連続とは限らない。例えば、二乗する演算 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \mapsto x^{2}\in \mathbb {R} }$
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  • ジョン・L.ケリー、児玉之宏訳 (1979)、位相空間、吉岡書店、ISBN 978-4-8427-0131-8