Tor の可換性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 09:14 UTC 版)
R を環、M を右 R 加群、N を左 R 加群とする。テンソル積の導来関手を Tor と表していたことを思い出そう。これは最初の引数の射影分解を使って定義されていたが、実は Tor i ( M , N ) = Tor i ( N , M ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)} が成り立つ。スペクトル系列を使わずにこのことを確かめることもできるが、スペクトル系列を使うと非常に簡単に確かめられる。 M と N の射影分解を一つとり、それぞれ P ∙ {\displaystyle P_{\bullet }} と Q ∙ {\displaystyle Q_{\bullet }} と表す。これらを負の次数で消えている複体と捉え、微分はそれぞれ d と e とする。2重複体を、項は C i , j = P i ⊗ Q j {\displaystyle C_{i,j}=P_{i}\otimes Q_{j}} 、微分は d ⊗ 1 {\displaystyle d\otimes 1} と ( − 1 ) i ( 1 ⊗ e ) {\displaystyle (-1)^{i}(1\otimes e)} と定義して作る。（−1 の項は微分を反可換にするため。）射影加群は平坦なので、射影加群をテンソルする操作とホモロジーを取る操作は交換可能である。したがって、 H p I ( H q I I ( P ∙ ⊗ Q ∙ ) ) = H p I ( P ∙ ⊗ H q I I ( Q ∙ ) ) {\displaystyle H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{II}(Q_{\bullet }))} H q I I ( H p I ( P ∙ ⊗ Q ∙ ) ) = H q I I ( H p I ( P ∙ ) ⊗ Q ∙ ) {\displaystyle H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet })\otimes Q_{\bullet })} が成り立つ。2つの複体は分解になっているので、そのホモロジーは次数0部分を除き消える。次数0部分には H p I ( P ∙ ⊗ N ) = Tor p ( M , N ) {\displaystyle H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)=\operatorname {Tor} _{p}(M,N)} H q I I ( M ⊗ Q ∙ ) = Tor q ( N , M ) {\displaystyle H_{q}^{II}(M\otimes Q_{\bullet })=\operatorname {Tor} _{q}(N,M)} が残っている。特に、 E p , q 2 {\displaystyle E_{p,q}^{2}} 項は、I スペクトル系列については q = 0 の直線部分を除き消え、II スペクトル系列については p = 0 の直線部分を除き消える。これから2番目シートでスペクトル系列は退化していることが分かり、したがって E∞ 項は E2 項と同型である: Tor p ( M , N ) ≅ E p ∞ = H p ( T ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}(M,N)\cong E_{p}^{\infty }=H_{p}(T(C_{\bullet ,\bullet }))} Tor q ( N , M ) ≅ E q ∞ = H q ( T ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}(N,M)\cong E_{q}^{\infty }=H_{q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))} p と q が等しければ両式の右辺は等しいので、これで Tor の可換性が示せた。
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