3囚人問題
(Three Prisoners problem から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/03/24 00:34 UTC 版)
3囚人問題（さんしゅうじんもんだい、英: Three Prisoners problem）は確率論の問題で、マーティン・ガードナーによって1959年に紹介された[1][2]。「ベルトランの箱のパラドクス」を下敷きにしていると考えられている。
概要
ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいて、それぞれ独房に入れられている。罪状はいずれも似たりよったりで、近々3人まとめて処刑される予定になっている。ところが恩赦が出て3人のうちランダムに選ばれた1人だけ助かることになったという。誰が恩赦になるかは明かされておらず、それぞれの囚人が「私は助かるのか？」と聞いても看守は答えない。したがって囚人Aが恩赦になる確率はこの時点では1/3であると考えられる。
囚人Aは一計を案じ、看守に向かってこう頼んだ。「BとCのどちらが処刑されるかだけでも教えてくれないか？」すると看守は「Bは処刑される」と教えてくれた。
それを聞いた囚人Aはひそかに喜んだ。Bが死刑になる事は確定した以上、恩赦になるのはAかCのいずれか一方であるはずであり、したがってAが恩赦になる確率は1/2に上昇したからである。
果たして囚人Aが喜んだのは正しいか？
解法
結論を述べるためにまず記号を定義し、簡単な考察をする。「Aが恩赦になる」、「Bが恩赦になる」、「Cが恩赦になる」という事象を略記してそれぞれA、B、Cと書き、「看守が「Bは死刑になる」と答える」という事象をbとする。
看守はA自身が死刑になるか否かを答えないのであるから、恩赦になるのがBの場合、看守は必ず「Cは死刑になる」と答える。同様の理由により、恩赦になるのがCの場合、看守は必ず「Bは死刑になる」と答える。すなわち、
- …①
![{\displaystyle \Pr[b\mid B]=0,~~~\Pr[b\mid C]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb6eec807999c875738f3b4f91782302b462ae9)
である。
しかし恩赦を受けるのがA自身であるケースでは、看守は「Bは死刑になる」という回答と「Cは死刑になる」という回答のいずれを答えるか任意に選ぶ事ができる。すなわち、
![{\displaystyle \Pr[b\mid A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152d3c933dea34467240e94362853ef214d51f76)
がいくつになるのかは3囚人問題のセッティングのみからは決まらず、看守の性格や思考等に依存して決まる。従って看守の答えを聞いて囚人Aが喜んだのが正しいか否かは、このがどのような値になるのかに依存して異なる[3]。
これをみるために「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが恩赦になる事後確率を求める。恩赦がランダムに決まるという仮定より
![{\displaystyle \Pr[A\mid b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87fd55190ec3918fdf2a7c1b64975595fc628c6)
- …②
![{\displaystyle \Pr[A]=\Pr[B]=\Pr[C]={1 \over 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d349598b8ae333c29dc847ebf07a55113702d82)
であるので、ベイズの定理より、
![{\displaystyle \Pr[A\mid b]={\Pr[b\mid A]\Pr[A] \over \Pr[b]}={\Pr[b\mid A]\Pr[A] \over \Pr[b\mid A]\Pr[A]+\Pr[b\mid B]\Pr[B]+\Pr[b\mid C]\Pr[C]}{\underset {(2)}{=}}{\Pr[b\mid A] \over \Pr[b\mid A]+\Pr[b\mid B]+\Pr[b\mid C]}{\underset {(1)}{=}}{\Pr[b\mid A] \over \Pr[b\mid A]+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d47c9139864c490435284e083425991648c50d)
である[3]。具体的な値をいくつか代入してみると、
![{\displaystyle \Pr[A\mid b]={\begin{cases}{1 \over 2}&{\text{if }}\Pr[b\mid A]=1\\{1 \over 3}&{\text{if }}\Pr[b\mid A]={1 \over 2}\\0&{\text{if }}\Pr[b\mid A]=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817a84cee407a04a6da35b304b069ad465836ff2)
したがって最初に述べたように、「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが恩赦になる事後確率は、Aが恩赦されるケースで看守が「Bが死刑となる」と答える確率に依存して値が変わる。
もしAが確率に関して何ら情報を持たないなら、と仮定するのは自然である(最大エントロピー原理)[3]。この場合には、看守の返答後にAが恩赦になる確率 は 1/3のままである。すなわち「恩赦の確率が1/2にあがった」という囚人Aが喜んだのは間違っている事になる。
![{\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd89535d1bf564733717dcb072d40c3d311909ab)
しかしAがに関する何らかの情報（例えば「看守はBを嫌っている」という情報）を持っている場合は、必ずしもとするのは自然ではない[3]。
仮にであれば、 となる為、囚人Aが喜んだのは正しい事になる。 一方であれば より、看守の返答を聞いたことによりAが恩赦になる確率は0に下がってしまう。
![{\displaystyle \Pr[b\mid A]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a7e2c7f801f5888ec310dfc156d297d0a0e22d)
![{\displaystyle \Pr[A\mid b]={1 \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d17c9850cc011afbdbbf15a452a896c5156b9a2)
![{\displaystyle \Pr[b\mid A]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7402890afe6fc98bcac2950fa9b19ccd696b46)
![{\displaystyle \Pr[A\mid b]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22e35f22c696fe8a90f03f25a0e406dd292dd48)
恩赦が等確率でない場合
上ではA、B、Cが恩赦を受ける確率はいずれも1/3である事を仮定し、なら囚人が喜んだのは間違っている事を見た。
しかし例えば、恩赦になる確率だけをそれぞれA＝1/4、B＝1/4、C＝1/2に変えると、（であっても）看守が「Bは死刑になる」と答えることでAの恩赦確率は1/5とかえって低下してしまう[4][5]。
心理学の題材として
直感的・主観的に捉えて予想した確率と本当の確率[注釈 1]が一致しないのはなぜか、さらに、解答を説明されても即座に理解できなかったり、理解したつもりでも納得できないのはなぜか、という研究が認知心理学の研究分野で行われた。
看守の返答を聞いた後Aが恩赦になる確率のアンケートを行ったある研究[注釈 2]では、回答者の76％が1/2、14％が1/3と解答している[5]。しかし、確率は統計に基づくことを説明するヒントを載せたところ、この比率は逆転した[5]。
脚注
注釈
出典
- ^ Gardner, Martin (October 1959). “Mathematical Games: Problems involving questions of probability and ambiguity”. Scientific American 201 (4): 174-182. doi:10.1038/scientificamerican1059-174.
- ^ Gardner, Martin (1959). “Mathematical Games: How three modern mathematicians disproved a celebrated conjecture of Leonhard Euler”. Scientific American 201 (5): 188. doi:10.1038/scientificamerican1159-181.
- ^ a b c d Judea Pearl (1988/9/1). Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inference. Morgan Kaufmann Series in Representation and Reasoning. Morgan Kaufmann. p. 61. ISBN 978-1558604797
- ^ 市川伸一 著、日本認知科学会編 編『確率の理解を探る――3囚人問題とその周辺』共立出版〈認知科学モノグラフ 10〉、1998年5月。 ISBN 4-320-02860-0。
- ^ a b c 小林厚子 (1998年). “確率判断の認知心理(1) 、『東京成徳大学研究紀要』第5号” (pdf). 2017年11月10日閲覧。 p3-5
関連項目
- モンティ・ホール問題
- 感染者問題
- 囚人のジレンマ
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