ロワの恒等式 （ロワのこうとうしき、英 : Roy's identity , フランス の経済学者 、ルネ・ロワ（英語版 、フランス語版 ） にちなむ）は、消費者選択（英語版 ） 理論および企業理論（英語版 ） に応用を持つミクロ経済学 の主結果の一つである。この等式（補題 ）はマーシャル型需要関数（英語版 ） と間接効用関数（英語版 ） の偏導関数 とを結びつける。特に、間接効用関数が
v
(
p
,
w
)
{\displaystyle v(p,w)}
i
{\displaystyle i}
x
i
m
=
−
∂
v
∂
p
i
∂
v
∂
w
{\displaystyle x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}}
と計算できる。ここで
p
{\displaystyle p}
w
{\displaystyle w}
所得 を表す[1]
導出 ロワの恒等式は、個々の消費者および個々の財 (
i
{\displaystyle i}
シェパードの補題（英語版 ） を書き直したものである。
まず、間接効用関数
v
(
p
,
w
)
{\displaystyle v(p,w)}
富 ないし所得
w
{\displaystyle w}
支出関数（英語版 ） （expenditure function）を代入して得られる、下記のあたりまえの恒等式について考える。ここで効用 は
u
{\displaystyle u}
v
(
p
,
e
(
p
,
u
)
)
=
u
{\displaystyle v(p,e(p,u))=u}
この等式は、価格の一覧（価格ベクトル
p
{\displaystyle p}
u
{\displaystyle u}
e
(
p
,
u
)
{\displaystyle e(p,u)}
u
{\displaystyle u}
（効用の水準を一定に保ったまま）等式の両辺をある単一の財の価格
p
i
{\displaystyle p_{i}}
∂
v
[
p
,
e
(
p
,
u
)
]
∂
w
∂
e
(
p
,
u
)
∂
p
i
+
∂
v
[
p
,
e
(
p
,
u
)
]
∂
p
i
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0}
となる。これを変形すると
−
∂
v
[
p
,
e
(
p
,
u
)
]
∂
p
i
∂
v
[
p
,
e
(
p
,
u
)
]
∂
w
=
∂
e
(
p
,
u
)
∂
p
i
=
h
i
(
p
,
u
)
=
x
i
(
p
,
e
(
p
,
u
)
)
{\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))}
最後から2番目の等号はシェパードの補題から従い、最後の等号はヒックス型需要関数（英語版 ） の基本的な性質から従う。
（微分可能な場合の）別証明 ロワの恒等式にはより簡潔な証明がある[2]
間接効用関数
v
(
p
1
,
p
2
,
w
)
{\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}
ラグランジュの関数
L
=
u
(
x
1
,
x
2
)
+
λ
(
w
−
p
1
x
1
−
p
2
x
2
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})}
で特徴づけられるような、制約条件付き最大化問題 の目的関数なのだから、包絡線定理（英語版 ） より、目的関数
v
(
p
1
,
p
2
,
w
)
{\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}
∂
v
∂
p
1
=
−
λ
x
1
m
{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}}
∂
v
∂
w
=
λ
{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda }
のように計算できる。この
x
1
m
{\displaystyle x_{1}^{m}}
−
∂
v
∂
p
1
∂
v
∂
w
=
−
−
λ
x
1
m
λ
=
x
1
m
{\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}}
が得られる。
応用 この恒等式は、消費者の間接効用関数が与えられたとき、ある財に対するマーシャル型需要関数を導く一法を与えるものである。また、スルツキー方程式 を導出する基礎にもなっている。
脚注 参考文献 
![{\displaystyle {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9955dd3afa9cd3a9f2ddd9b71ace36ad95cd64)
![{\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8f5beebe52224464fb65af51b502b62d6d3695)
