qポッホハマー記号
q-階乗
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/08 13:44 UTC 版)
またq-階乗 [n]q! は、q-数によって [ n ] q ! := ∏ k = 1 n [ k ] q = ( q ; q ) n ( 1 − q ) n {\displaystyle [n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}} と定義される。ただし (q; q)n はq-ポッホハマー記号を表す。 このとき Sn を n 次の対称群、inv(σ) を置換 σ の転倒数として、 [ n ] q ! = ∑ σ ∈ S n q inv ( σ ) {\displaystyle [n]_{q}!=\sum _{\sigma \in S_{n}}q^{\operatorname {inv} (\sigma )}} が成り立つ。これは q → 1 {\displaystyle q\to 1} の極限で、通常の階乗 n ! {\displaystyle n!} が n {\displaystyle n} 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。また有限体 Fq 上の一般線型群 GL(n, q) の位数は | GL ( n , q ) | = [ n ] q ! ( q − 1 ) n q ( n 2 ) {\displaystyle \vert \operatorname {GL} (n,q)\vert =[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}} と表せる。
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