Machin's formula

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マチンの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/30 22:51 UTC 版)

マチンの公式の概念図。逆正接関数 arctan x は偏角として考えることができるため、マチンの公式は上図のように解釈することができる。

マチンの公式（英: Machin's formula）とは、1706年にイギリスの天文学者ジョン・マチンによって発見された逆正接関数 arctan x を用いた円周率を計算するための公式、すなわち

${\dfrac {\pi }{4}}=4\arctan {\dfrac {1}{5}}-\arctan {\dfrac {1}{239}}$

複素平面上における、逆正接関数による偏角の表現。

a 、b を実数とし、a > 0 、i を虚数単位とする。

複素数 z = a + bi の偏角は、

$\arg z=\arctan {\frac {b}{a}}$