M型CIP法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/02 08:51 UTC 版)
A型CIP法では補間関数の係数の数が多く、これを解析に適用しようとすると格子点上で覚えさせる値の数が多くなり、計算を行う上で合理的でない。 M型CIP法では、多次元の移流方程式に方向分離を行うことで幾つかの1次元移流方程式に帰着させ、1次元のCIPスキームで計算を行う。方向分離解法を適用することで、上の2次元移流方程式をつぎのように分解できる。 ∂ f ∂ t + C 1 ∂ f ∂ x 1 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {C}}_{1}{\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial x_{1}}}={\boldsymbol {0}}} ∂ f ∂ t + C 2 ∂ f ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {C}}_{2}{\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial x_{2}}}={\boldsymbol {0}}} このように方向分離を行うと、 x 1 {\displaystyle x_{1}} 方向へ分離した式を解くことによって時刻 n {\displaystyle n} の値 f n {\displaystyle {\boldsymbol {f}}^{n}} から中間の値 f ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {f}}^{*}} が得られ、 x 2 {\displaystyle x_{2}} 方向へ分離した式を解くことによって中間の値 f ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {f}}^{*}} から時刻 n + 1 {\displaystyle n+1} の値 f n + 1 {\displaystyle {\boldsymbol {f}}^{n+1}} が得られる。 M型CIP法で x α {\displaystyle x_{\alpha }} 方向への移流計算を行うとき、ベクトル f {\displaystyle {\boldsymbol {f}}} と x α {\displaystyle x_{\alpha }} 方向の空間微分値 ∂ f ∂ x α {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial x_{\alpha }}}} については1節の1次元CIPスキームを使って解くことが出来るが、 x β ( α ≠ β ) {\displaystyle x_{\beta }(\alpha \neq \beta )} 方向の空間微分値 ∂ f ∂ x β {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial x_{\beta }}}} については更なる空間微分値 ∂ 2 f ∂ x α ∂ x β {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {f}}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}} を計算していないのでCIP法を使って求めることは出来ない。よって x β {\displaystyle x_{\beta }} 方向の空間微分値 ∂ f ∂ x β {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial x_{\beta }}}} を求めるためには線形補間を行うことで、移流計算を行う。 M 型 C I P 法 の 計 算 順 序 ( n → n + 1 ) σ i j n ∂ σ i j n ∂ x α ∂ σ i j n ∂ x β → C I P 法 → F D M σ i j ∗ ∂ σ i j ∗ ∂ x α ∂ σ i j ∗ ∂ x β σ i j ∗ ∂ σ i j ∗ ∂ x β ∂ σ i j ∗ ∂ x α → C I P 法 → F D M σ i j n + 1 ∂ σ i j n + 1 ∂ x β ∂ σ i j n + 1 ∂ x α x α 方 向 へ の 移 流 計 算 x β 方 向 へ の 移 流 計 算 {\displaystyle {\begin{aligned}&\qquad {\mathsf {M}}\ {\text{型}}\ \ {\mathsf {CIP}}\ {\text{法}}\ {\text{の}}\ {\text{計}}\ {\text{算}}\ {\text{順}}\ {\text{序}}\ \ \left(n\rightarrow n+1\right)\\\\&{\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\sigma _{ij}^{n}\\\\{\frac {\partial \sigma _{ij}^{n}}{\partial x_{\alpha }}}\\\\{\frac {\partial \sigma _{ij}^{n}}{\partial x_{\beta }}}\end{array}}{\begin{array}{c}\xrightarrow {{\mathsf {CIP}}\ {\text{法}}} \\\\\\\\\xrightarrow {\mathsf {FDM}} \\\end{array}}{\begin{array}{c}\sigma _{ij}^{*}\\\\{\frac {\partial \sigma _{ij}^{*}}{\partial x_{\alpha }}}\\\\{\frac {\partial \sigma _{ij}^{*}}{\partial x_{\beta }}}\end{array}}&{\begin{array}{c}\sigma _{ij}^{*}\\\\{\frac {\partial \sigma _{ij}^{*}}{\partial x_{\beta }}}\\\\{\frac {\partial \sigma _{ij}^{*}}{\partial x_{\alpha }}}\end{array}}{\begin{array}{c}\xrightarrow {{\mathsf {CIP}}\ {\text{法}}} \\\\\\\\\xrightarrow {\mathsf {FDM}} \\\end{array}}{\begin{array}{c}\sigma _{ij}^{n+1}\\\\{\frac {\partial \sigma _{ij}^{n+1}}{\partial x_{\beta }}}\\\\{\frac {\partial \sigma _{ij}^{n+1}}{\partial x_{\alpha }}}\end{array}}\\{\begin{array}{|c|}\hline x_{\alpha }\ {\text{方}}\ {\text{向}}\ {\text{へ}}\ {\text{の}}\ {\text{移}}\ {\text{流}}\ {\text{計}}\ {\text{算}}\ \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline x_{\beta }\ {\text{方}}\ {\text{向}}\ {\text{へ}}\ {\text{の}}\ {\text{移}}\ {\text{流}}\ {\text{計}}\ {\text{算}}\ \\\hline \end{array}}\end{array}}\end{aligned}}}
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