超実数
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/03/06 14:13 UTC 版)
超実数（ちょうじっすう、英: hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard real number）は、実数体の拡張として導入される数体系の元であり、無限小や無限大に対応する元を含む。超実数全体はしばしば {}^*R と書かれ、超準解析における基本的な対象である。[1][2]
超実数の重要な特徴は、実数について成り立つ一階述語論理の命題が、その自然な解釈のもとで超実数についても成り立つという移行原理（英: transfer principle）を満たすことである。これは、ライプニッツの「連続の法則」を現代モデル理論の枠組みで厳密化したものとみなされる。[3][4][5]
概要
超実数体 {}^*R は実数体の順序体拡大であり、実数体を部分体として含む。[3][4] 超実数体には、任意の正の実数より絶対値が小さいが 0 ではない元が存在し、そのような元を無限小という。また、任意の自然数より大きい元が存在し、そのような元を無限大元という。したがって、超実数体はアルキメデスの性質を満たさない。[2][3]
有限な超実数とは、ある実数 r を用いて |x| < r と評価できる超実数である。有限超実数は加法・減法・乗法について閉じており、無限小全体もまた加法・減法・乗法について閉じている。[5]
超実数は一般に一意に定まる体系ではなく、いくつかの構成法がある。代表的なものは、実数列の超冪による構成である。[4][3]
「hyper-real」という語は、エドウィン・ヒューイットが 1948 年に用いた。[6]
移行原理
移行原理とは、実数体について真である一階論理の文が、対応する超実数体についても真であるという原理である。たとえば
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