算術の基本定理
(Fundamental theorem of arithmetic から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/15 04:00 UTC 版)
算術の基本定理（さんじゅつのきほんていり、英: fundamental theorem of arithmetic）または素因数分解の一意性（そいんすうぶんかいのいちいせい、英: unique factorization theorem）は、「任意の正整数は、1 を除いて、一つまたはそれ以上の素数の積として（因子の順番の違いを除いて）ただ一通りに表すことができる」[注 2]という初等整数論（算術）における定理である[注 3]。
注
- ^ a b 【定理】どのような合成数もただ1通りの仕方で素因子に分解される (ガウス & 高瀬 1995, 第16条)。
- ^ (Hardy & Wright 2008) および (ハーディ & ライト 2012, pp. 2–4) は、定理 1: 「任意の正整数は、1 を除いて、一つまたはそれ以上の素数の積に表される」("Every positive integer, except 1, is a product of one or more primes") と述べている（続く定理 2: 「その分解は一意である」とあわせて「基本定理」が構成される）。
- ^ 1 を「0 個の素数の積」と見なすという規約を設けることも多い[2]。そうすれば、この空積の規約を以って、1 をも含めた全ての自然数について算術の基本定理が成り立つと述べることができる[3]。このような規約は最大公約数の計算においてもしばしば有用である。[要出典]
- ^ もし a も b も素数 p で割り切れないならば、積 ab もまた p で割り切れない (ガウス & 高瀬 1995, 第14条)。
- ^ これが定理の証明において、鍵となる補題である。ガウス以前には長い間自明のことと見なされていた[要出典]が、一般の代数体ではこの事実は成立しない。
出典
- ^ ガウス & 高瀬 1995, pp. 102, 497。
- ^ Nathanson 2000, p. 26.
- ^ Nathanson 2000, p. 26, Theorem 1.10 (Fundamental theorem of arithmetic).
- ^ 高木 1971, pp. 12f, 411f
- ^ スチュアート 2013, p. 113
[続きの解説]
「算術の基本定理」の続きの解説一覧
- 1 算術の基本定理とは
- 2 算術の基本定理の概要
- 3 解説
- 4 証明
- 5 一般化
- 6 外部リンク
固有名詞の分類
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