Elliptic Curve

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楕円曲線

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楕円曲線のカタログ、示されている領域は [−3, 3]² である。ただし(a, b) = (0, 0) におけるものは楕円曲線ではない。

数学における楕円曲線（だえんきょくせん、英: elliptic curve）とは種数 1 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 O を持つ種数 1 の代数曲線を言う^[1]。

楕円曲線上の点に対し、先述の点 O を単位元とする（必ず可換な）群をなすように、和を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。

楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 P² の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる^[2]。より正確には、射影平面上、楕円曲線はヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形

${\displaystyle Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2}=X^{3}+a_{2}X^{2}Z+a_{4}XZ^{2}+a_{6}Z^{3}}$

曲線 y² = x³ − x と y² = x³ − x + 1 のグラフ

楕円曲線の形式的な定義には、かなり技術的で代数幾何学の背景を必要としているが、高校レベルの代数と幾何を使って、楕円曲線の様子をいくらか記述することが可能である。

すなわち、実平面上、楕円曲線は次の方程式により定義される平面曲線としてあらわされる。

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

結合律

EllipticGroup

結合律を除く全ての群法則は、直ちに群作用の幾何学的定義から導くことができる。このアニメーションは幾何学的な結合法則を示している。

六本のどの直線についても、直線上の三点の和が 0 であることに注意。九個の点全ての位置は、0 と a, b, c の位置と楕円曲線によって決定される。九点のうちの中心の点は、a と b + c を通る直線上と、a + b と c を通る直線上にある。加法の結合律は、格子の中心点を楕円曲線が通るという事実と同値である。この事実より、−(a +(b + c)) = −((a + b)+ c) が導かれる。

楕円曲線と点 0 はこのアニメーションの中では不動であることに対し、一方、a, b, c は互いに独立して動く。

複素数体上の楕円曲線

複素数上の楕円曲線は、複素数平面を格子 Λ で割ることで得られる。この格子 Λ は、二つの基本周期 ω₁ と ω₂ によって張られる。4-トーションは、格子 Λ を含む格子 1/4Λ に対応している。

楕円曲線の複素射影平面（英語版）の中のトーラスの埋め込みとしての定式化は、ヴァイエルシュトラスの楕円関数の不思議な性質から自然に導かれる。これらの関数と関数の一階微分は、公式

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

有限体 F₆₁ 上の楕円曲線 y² = x³ − x のアフィン点の集合

K = F_q を q 個の元を持つ有限体として、E を K 上に定義された楕円曲線とする。K 上の楕円曲線 E の有理点の数（英語版）を正確に数えることは、一般には難しいが、楕円曲線のハッセの定理は、無限遠点を含めると、この数を、

${\displaystyle |\operatorname {card} E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}}$

有限群 F₈₉ 上の楕円曲線 y² = x³ − x のアフィン点の集合

点の集合 E(F_q) は有限アーベル群である。常に、巡回的か、もしくは二つの巡回群の積となる。例えば、^[31] では、

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

有限体 F₇₁ 上の楕円曲線 y² = x³ − x のアフィン点の集合

佐藤・テイト予想は、Q 上の楕円曲線 E を法 q で還元した場合に、ハッセの定理の中の誤差項 2√q が素数 q によってどのように変わるのかについての言明である。佐藤・テイト予想は（ほとんどすべてのそのような曲線に対し）、Taylor, Harris & Shepherd-Barron (2006)^[34]により証明され、誤差項が等分分布していることを言っている。

有限体の上の楕円曲線は、特に暗号理論や大きな整数の素因数分解に応用されている。これらのアルゴリズムには、E 上の点の群構造がしばしば利用されている。一般の群（例えば有限体の可逆元からなる群，F_q^∗）に適用できるアルゴリズムは、楕円曲線上の点の群へも応用することができる。例えば、離散対数はそのようなアルゴリズムである。興味深いのは、楕円曲線を選ぶ方が、体の位数 q（と単位元）を選ぶよりも、高い柔軟性がある点である。また、楕円曲線の群構造は、一般にはより複雑である。

楕円曲線を使ったアルゴリズム

有限体上の楕円曲線は、整数の素因数分解への応用と同じように、暗号理論への応用にも使われる。典型的には、暗号理論への応用の一般論は、ある有限群を使った知られているアルゴリズムを、楕円曲線の有理点の群を使うように書き換えて使う。さらに以下を参照。

• 楕円曲線暗号
• 楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有
• 楕円曲線DSA
• エドワーズ曲線デジタル署名アルゴリズム
• 双対_EC_DRBG（英語版）
• レンストラ楕円曲線分解（英語版）
• 素数性証明楕円曲線（英語版）

楕円曲線の別の表現

• ヘッセ曲線（英語版）(Hessian curve)
• エドワーズ曲線（英語版）
• 曲線のひねり（英語版）
• ひねられたヘッセ曲線（英語版）
• ひねられたエドワーズ曲線（英語版）
• 二重向き付けドッチェ・イカート・コーヘル曲線（英語版）
• 三重向き付けドッチェ・イカート・コーヘル曲線（英語版）
• ヤコビ曲線（英語版）
• モンゴメリ曲線

脚注

1. ^ Silverman 1986, Chapter 3
2. ^ このことはリーマン面として見ることもできるし、単位元に対応する O をもつ種数 1 の曲線ともみることができ、1次元のアーベル多様体と見ることもできる。
3. ^ Silverman 1986, Proposition 6.1
4. ^ Silverman 1986, Theorem 6.2, Corollary 6.4
5. ^ Silverman 1986, Proposition 9.1
6. ^ Silverman 1986, Theorem 9.3
7. ^ Silverman 1986, Theorem 4.1
8. ^ Silverman 1986, pp. 199–205
9. ^ See also J. W. S. Cassels, Mordell's Finite Basis Theorem Revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100, 3–41 and the comment of A. Weil on the genesis of his work: A. Weil, Collected Papers, vol. 1, 520–521.
10. ^ Silverman 1986, Theorem 9.3, Proposition 9.6
11. ^ Dujella, Andrej. “History of elliptic curves rank records”. 13 May 2014閲覧。
12. ^ Silverman 1986, Theorem 7.5
13. ^ Silverman 1995, Chapter 2
14. ^ Silverman 1986, Remark 7.8 in Ch. VIII
15. ^ Merel, L. (1996). “Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres” (French). Inventiones Mathematicae 124 (1–3): 437–449. doi:10.1007/s002220050059. Zbl 0936.11037. 
16. ^ 定義は形式的で、定数項を持たないこのべき級数の指数は通常の指数である。
17. ^ Koblitz 1993
18. ^ D. R. Heath-Brown, The average analytic rank of elliptic curves, Duke Mathematical Journal 122–3, 591–623 (2004).
19. ^ 計算は、例えば D. Zagier, ≪ Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms ≫, Lecture Notes in Mathematics 1111, Springer, 1985, 225–248 を参照
20. ^ A synthetic presentation (in French) of the main ideas can be found in this Bourbaki article of Jean-Pierre Serre. For more details see Hellegouarch 2001
21. ^ D. Zagier, ≪ Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms ≫, Lecture Notes in Mathematics 1111, Springer, 1985, 225–248
22. ^ See the survey of K. Ribet ≪From the Taniyama–Shimura conjecture to Fermat's Last Theorem≫, Annales de la Faculte des sciences de Toulouse 11 (1990), 116–139.
23. ^ Baker 1990, Chapter IV およびSilverman 1986, Chapter IX, Silverman 1992, Chapter V
24. ^ Silverman 1986, Theorem IX.5.8., due to Baker 1990, Chapter IV, p. 45.
25. ^ H. M. Stark, ≪ Effective estimates of solutions of some diophantine equations ≫, Acta Arith. 24 (1973), 251--259
26. ^ T. Nagell, L'analyse indeterminee de degre superieur, Memorial des sciences mathematiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.
27. ^ Siksek, Samir (1995), Descents on Curves of Genus I, Ph.D. thesis, University of Exeter, pp. 16–17, http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/theses/siksek_thesis.pdf .
28. ^ Silverman 1986, Chapter 9, Section 5, pp. 262--263
29. ^ たとえば David 1994, Theorem 2.1, pp. 10
30. ^ 詳しい議論は、たとえば Stroeker & Tzanakis 1994を参照
31. ^ Koblitz 1994, p. 158
32. ^ ヴェイユ予想は、1974年にドリーニュにより解決された。また、ステパノフは代数幾何学を用いない比較的初等的な方法により、有限体上の代数曲線の有理点の個数についてヴェイユの定理ほど強くはないが類似の定理を証明し、楕円曲線の場合にはハッセの評価と同じく ${\displaystyle \left|N-q-1\right|\leq 2q^{1/2}}$

ウィキメディア・コモンズには、Elliptic curveに関連するメディアがあります。

• リーマン・フルヴィッツの公式
• 数論力学
• 楕円曲面
• 数式処理システムの一覧
• j-直線（英語版）

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Elliptic curve”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Elliptic_curve 
• The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves
• Weisstein, Eric W. "Elliptic Curves". mathworld.wolfram.com (英語).
• The Arithmetic of elliptic curves from PlanetMath
• Three Fermat Trails to Elliptic Curves, Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31 (2000), pp. 162–172, winner of the MAA writing prize the George Pólya Award.
• Matlab code for implicit function plotting – Can be used to plot elliptic curves.
• Interactive introduction to elliptic curves and elliptic curve cryptography with SAGE
• Geometric Elliptic Curve Model(Java-Applet drawing curves)
• Interactive elliptic curve over R and over Zp - Web application that requires HTML5 capable browser.
• Comprehensive database of Elliptic Curves over Q

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