数学における中心二項係数 （ちゅうしんにこうけいすう、英 : Central binomial coefficient ）は、n番目の 中心二項係数を
(
2
n
n
)
=
(
2
n
)
!
(
n
!
)
2
=
2
n
(
2
n
−
1
)
!
!
n
!
(
n
≥
0
)
{\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {2^{n}(2n-1)!!}{n!}}\qquad (n\geq 0)}
とする。パスカルの三角形 の奇数行の真ん中にあるため、中心二項係数と呼ばれる。
1
_
{\displaystyle {\underline {1}}}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
2
_
{\displaystyle {\underline {2}}}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
3
{\displaystyle 3}
3
{\displaystyle 3}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
4
{\displaystyle 4}
6
_
{\displaystyle {\underline {6}}}
4
{\displaystyle 4}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
5
{\displaystyle 5}
10
{\displaystyle 10}
10
{\displaystyle 10}
5
{\displaystyle 5}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
6
{\displaystyle 6}
15
{\displaystyle 15}
20
_
{\displaystyle {\underline {20}}}
15
{\displaystyle 15}
6
{\displaystyle 6}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
7
{\displaystyle 7}
21
{\displaystyle 21}
35
{\displaystyle 35}
35
{\displaystyle 35}
21
{\displaystyle 21}
7
{\displaystyle 7}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
8
{\displaystyle 8}
28
{\displaystyle 28}
56
{\displaystyle 56}
70
_
{\displaystyle {\underline {70}}}
56
{\displaystyle 56}
28
{\displaystyle 28}
8
{\displaystyle 8}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
9
{\displaystyle 9}
36
{\displaystyle 36}
84
{\displaystyle 84}
126
{\displaystyle 126}
126
{\displaystyle 126}
84
{\displaystyle 84}
36
{\displaystyle 36}
9
{\displaystyle 9}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
10
{\displaystyle 10}
45
{\displaystyle 45}
120
{\displaystyle 120}
210
{\displaystyle 210}
252
_
{\displaystyle {\underline {252}}}
210
{\displaystyle 210}
120
{\displaystyle 120}
45
{\displaystyle 45}
10
{\displaystyle 10}
1
{\displaystyle 1}
中心二項係数の n ≧ 0 の値は
1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252 , 924 , 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112, …（オンライン整数列大辞典 の数列 A000984 ）
パスカル行列（英語版 ） では、対角成分 に表示される。
A
10
,
10
=
[
1
_
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
_
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
6
_
10
15
21
28
36
45
55
1
4
10
20
_
35
56
84
120
165
220
1
5
15
35
70
_
126
210
330
495
715
1
6
21
56
126
252
_
462
792
1287
2002
1
7
28
84
210
462
924
_
1716
3003
5005
1
8
36
120
330
792
1716
3432
_
6435
11440
1
9
45
165
495
1287
3003
6435
12870
_
24310
1
10
55
220
715
2002
5005
11440
24310
48620
_
]
{\displaystyle A_{10,10}={\begin{bmatrix}{\underline {1}}&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&{\underline {2}}&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&3&{\underline {6}}&10&15&21&28&36&45&55\\1&4&10&{\underline {20}}&35&56&84&120&165&220\\1&5&15&35&{\underline {70}}&126&210&330&495&715\\1&6&21&56&126&{\underline {252}}&462&792&1287&2002\\1&7&28&84&210&462&{\underline {924}}&1716&3003&5005\\1&8&36&120&330&792&1716&{\underline {3432}}&6435&11440\\1&9&45&165&495&1287&3003&6435&{\underline {12870}}&24310\\1&10&55&220&715&2002&5005&11440&24310&{\underline {48620}}\end{bmatrix}}}
属関数は中心二項係数に適用される。
1
1
−
4
x
=
1
+
2
x
+
6
x
2
+
20
x
3
+
70
x
4
+
252
x
5
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}
ウォリス積は、中心二項係数の漸近形式で記述できる。
(
2
n
n
)
=
2
2
n
⋅
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
n
−
1
)
2
⋅
4
⋅
6
⋯
(
2
n
)
∼
4
n
π
n
(
n
→
∞
)
{\displaystyle {2n \choose n}=2^{2n}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\quad (n\rightarrow \infty )}
最後の式は、スターリングの公式 を使用して簡単に導出できる。一方、比較によるスターリング公式は、定数を決定するために使用できる。
単純な境界は次のように与えられる。
4
n
2
n
+
1
≤
(
2
n
n
)
≤
4
n
,
(
n
≥
1
)
.
{\displaystyle {\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n},\qquad (n\geq 1)\!\,.}
より良い境界は次のとおり:
4
n
4
n
≤
(
2
n
n
)
≤
4
n
3
n
+
1
,
(
n
≥
1
)
,
{\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}},\qquad (n\geq 1)\!\,,}
そして、さらに高い精度が必要な場合：
(
2
n
n
)
=
4
n
π
n
(
1
−
c
n
n
)
,
{\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)\!\,,}
1
9
<
c
n
<
1
8
,
(
n
≥
1
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}},\qquad (n\geq 1)\!\,.}
奇数の中心二項係数は 1 だけである。[ 1]
n番目の カタラン数 を C n
C
n
=
1
n
+
1
(
2
n
n
)
=
(
2
n
n
)
−
(
2
n
n
+
1
)
=
(
2
n
)
!
n
!
(
n
+
1
)
!
,
(
n
≥
0
)
.
{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={\frac {(2n)!}{n!\;(n+1)!}},\qquad (n\geq 0)\!\,.}
中心二項係数の簡単な一般化は次のように与えられる。
Γ
(
2
n
+
1
)
Γ
(
n
+
1
)
2
=
1
n
B
(
n
+
1
,
n
)
,
{\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\operatorname {\mathrm {B} } (n+1,n)}}\!\,,}
n は 実数 で 、ここで
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)\,}
ガンマ関数 、
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)\,}
ベータ関数 である。
∑
k
=
0
n
(
2
k
k
)
(
2
n
−
2
k
n
−
k
)
=
4
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}=4^{n}}
(
2
n
n
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {2n}{n}}}
n 番目の行の2乗の合計になる。
(
2
n
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
2
{\displaystyle {2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}}
^ Banakh, Iryna; Banakh, Taras; Plichko, Anatolij; Prykarpatsky, Anatoliy (2012-01-01). “On local convexity of nonlinear mappings between Banach spaces” . Open Mathematics 10 (6). doi :10.2478/s11533-012-0101-z . ISSN 2391-5455 . https://doi.org/10.2478/s11533-012-0101-z .
