アーベル-ルフィニの定理
アーベル–ルフィニの定理（アーベル–ルフィニのていり、英: Abel–Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。
概要
方程式を「代数的に解く」とは、与えられた方程式の係数から出発して四則演算と冪根をとる操作を有限回繰り返し、方程式の根を表示することをいう。単に「冪根によって解く」ともいう。このようにして得られる表示可能な数の全体は、係数体に適当な冪根を添加して拡大したものとなるが、もし方程式に代数的な解の公式が存在するなら、根がそのような拡大体のどこかに含まれているはずである。従って、「代数方程式が代数的に解ける」、すなわち「代数方程式の根が冪根による表示をもつ」とは、次のように定義される。
- 方程式の係数を含む体に適当な冪根を添加して体を拡大していき、その中に根を含むようにできる。
アーベル–ルフィニの定理からは、五次以上の一般代数方程式ではこのような拡大が十分に行えないことが結論される。
代数学の基本定理が示す通り、n 次方程式は複素数の範囲で本質的に n 個の根を持つが、それを四則演算と冪根の有限回の繰り返しによって表示できるとは限らないことになる。代数的に解けない場合についてはこの定理は触れていない。例えば三次方程式のビエトの解のように三角関数によって表示できたとしても代数的に解けたとはいわない。また五次以上でも特定の条件付き方程式ならば解く事ができ、このようなものの一部はアーベル方程式と呼ばれる。もっとも単純なアーベル方程式は1の冪根を根にもつ xn = 1 であり、これが代数的に可解であることはカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された。
一時この定理は完全な形で提出したニールス・アーベルにその功績が帰されていたが、現在ではパオロ・ルフィニの貢献を入れてアーベル–ルフィニの定理とする表記が多い。これはアーベルの業績になる定理が多く、単に「アーベルの定理」というと区別しにくいという事情も関係している。
歴史
17世紀前半からアルベール・ジラール（英語: Albert Girard）らによって主張されてきた代数学の基本定理により、5次以上の方程式にも次数と等しいだけの根があること自体は明らかであったので、五次方程式は「解けるに違いないが非常に難しい問題」と捉えられていた。
1770年頃、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュやヴァンデルモンド（英語: Alexandre-Théophile Vandermonde）は 4次以下の代数方程式の解法について置換を用いて（独立に）考察を行い、それらが代数的に解けた原因を与えた。
同様の考察を五次方程式に適用すると、より高次の方程式を解かねばならず破綻してしまうため、それ以上には進まなかった。 しかし、これらの研究を源とする代数的可解性の原則やラグランジュ分解式などが、その後の代数的方程式論の発展に繋がる突破口に結びついた。
カール・フリードリヒ・ガウスは、五次方程式の代数的な解法が不可能問題であることに確信を持っていた。数学的な根拠は出さなかったものの、学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。また、『整数論』において円分方程式 
固有名詞の分類
| 定理 |
平均値の定理 ミッタク＝レフラーの定理 アーベル-ルフィニの定理 パーセバルの定理 微分積分学の基本定理 |
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