4. 対の公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 15:26 UTC 版)
「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の記事における「4. 対の公理」の解説
詳細は「対の公理」を参照 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が集合である場合、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} を元として含む集合が存在する。 ∀ x ∀ y ∃ z ( ( x ∈ z ) ∧ ( y ∈ z ) ) . {\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).} 正確に x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} のみを元を持つ集合の存在を示すには、分出公理を使用する必要がある。対の公理はZの一部であるが、少なくとも2つの元を持つ集合が与えられた場合は置換公理に従うため、ZFでは冗長である。少なくとも2つの元を持つ集合の存在は、無限公理、または分出公理とべき集合公理の組み合わせのいずれかによって示せる。
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