ゴレイ符号
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/25 08:40 UTC 版)
ゴレイ符号（英: Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者マルセル・J・E・ゴレイ。
2元ゴレイ符号
2元ゴレイ符号（英: Binary Golay code）は、デジタル通信に用いられる誤り訂正符号の一種である。
2元ゴレイ符号は2種類存在する。拡張2元ゴレイ符号（extended-）は12ビットのデータを24ビットの符号語に符号化し、任意の3ビットの誤りを訂正可能で、4ビットの誤りを検出可能である。完全2元ゴレイ符号（perfect-）は符号語長23ビットで、拡張2元ゴレイ符号から特定の1ビットを除いたものである（逆に完全2元ゴレイ符号にパリティビットを追加したのが拡張2元ゴレイ符号である）。これらを標準的な符号パラメータで表すと、[24, 12, 8] と [23, 12, 7] である。
数学的定義
数学的には、拡張2元ゴレイ符号は24ビット空間 V=F224 の12次部分空間 W からなり、W の任意の2つの元は少なくとも8箇所の座標位置が異なる。同様に W の任意のゼロでない元は、少なくとも8箇所の座標がゼロでない。
- W 上に分布するゼロでない座標の集合 w が符号語の集合である。拡張2元ゴレイ符号では、全ての符号語のハミング重みは、0, 8, 12, 16, 24 のいずれかである。
- 座標の再ラベル付けまで、W は一意である。
完全2元ゴレイ符号は完全符号である。すなわち、符号を中心とする半径3の球がベクトル空間のパーティションを形成する。
完全2元ゴレイ符号の自己同型群は、マシュー群 
3元ゴレイ符号
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/04 01:16 UTC 版)
3元ゴレイ符号（英: Ternary Golay code）には、相互に関連する2種類の誤り訂正符号が存在する。通常3元ゴレイ符号と言えば、完全 (11, 6, 5) 3元線型符号を指す。拡張3元ゴレイ符号（extended-）は (12, 6, 6) 線型符号であり、(11, 6, 5) の符号にゼロサムのチェックディジットを追加したものである。 拡張3元ゴレイ符号の重み多項式は次の通り。 x 12 + y 12 + z 12 + 22 ( x 6 y 6 + y 6 z 6 + z 6 x 6 ) + 220 ( x 6 y 3 z 3 + y 6 z 3 x 3 + z 6 x 3 y 3 ) {\displaystyle x^{12}+y^{12}+z^{12}+22(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{6}x^{6})+220(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{6}x^{3}y^{3})} 完全3元ゴレイ符号は、有限体 F3 上の長さ11の平方剰余符号として構築できる。 拡張3元ゴレイ符号の自己同型群は 2.M12 であり、M12 はマシュー群である。 拡張3元ゴレイ符号は、体 F3 上の12次アダマール行列の行のスパンから構築可能である。 ゼロでない6つの桁を持つ拡張3元ゴレイ符号の全ての符号語を考えたとき、そのゼロでない桁の位置の集合は、シュタイナー系 S(5, 6, 12) から得られる。
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