非可換類体論とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

非可換類体論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/21 13:51 UTC 版)

数学において、非可換類体論（ひかかんるいたいろん、英: non-abelian class field theory）は、類体論の結果、任意の代数体 $K$ のアーベル拡大についての比較的完全で古典的な一連の結果の、一般のガロワ拡大 $L / K$ への拡張を意味するキャッチフレーズである。拡大の群が可換な場合の理論である類体論は1930年頃には本質的には知られるところとなったが、それを非可換の場合に拡張する理論は、まだ誰もが認める確定した定式化には至っていない^[1]。

脚注

^ The problem of creating non-Abelian class field theory for normal extensions with non-Abelian Galois group remains. （非可換なガロア群を持つ正規拡大に対する非可換類体論を構築する問題は未解決である。）Kuz'min, L.V. (2001), "Class field theory", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。.
^ 統計的なレベルでは、古典的な結果であるディリクレの算術級数定理は、チェボタレフの密度定理に一般化される。求められているのは、平方剰余の相互法則と同じ方向の一般化である。
^ 今日の用語では、それは第二の不等式である。用語についてはclass formation（英語版）を参照。
^ James W. Cogdell, Functoriality, Converse Theorems and Applications (PDF) は、Functoriality itself is a manifestation of Langlands' vision of a non-abelian class field theory（関手性自体がラングランズのバージョンの非可換類体論のしるしである）と述べている。
^ The matter of reciprocity laws and symbols for non-Abelian field extensions more properly fits into non-Abelian class field theory and the Langlands program.（アーベルでない対拡大に対する相互法則と記号の問題は、非可換類体論とラングランズ・プログラムに、より適合する。Hazewinkel, M. (2001), "Hilbert problems", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。