近傍系の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
近傍系は以下の性質を満たす： 定義 (ハウスドルフの公理系) ― 点xの近傍系を N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} で表すとき、Xの任意の部分集合N、N'、Mに対して以下が成立する。 N , N ′ ∈ N x ⇒ N ∩ N ′ ∈ N x {\displaystyle N,N'\in {\mathcal {N}}_{x}\Rightarrow N\cap N'\in {\mathcal {N}}_{x}} N ∈ N x , M ⊃ N ⇒ M ∈ N x {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x},~M\supset N\Rightarrow M\in {\mathcal {N}}_{x}} N ∈ N x {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}} であれば、ある L ∈ N x {\displaystyle L\in {\mathcal {N}}_{x}} が存在し全ての y ∈ L {\displaystyle y\in L} に対して N ∈ N y {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{y}} ハウスドルフの公理系を満たす近傍系は位相を特徴づける： 定理 (近傍系による位相の特徴づけ) ― Xを集合とし、Xの元にXの冪集合の冪集合の元を対応させる写像 N : X → P ( P ( X ) ) , x ↦ N x {\displaystyle {\mathcal {N}}\colon X\to {\mathfrak {P}}({\mathfrak {P}}(X)),~x\mapsto {\mathcal {N}}_{x}} がハウスドルフの公理系を満たしたとする。このときX上の位相構造 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} で位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の各点xの近傍が N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} に一致するものがただ一つ存在する。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} は具体的には以下のように書ける： O = { O ⊂ X ∣ ∀ x ∈ O : O ∈ N x } {\displaystyle {\mathcal {O}}=\{O\subset X\mid \forall x\in O~:~O\in {\mathcal {N}}_{x}\}}
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