論理演算の法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/24 05:40 UTC 版)
2つの二項演算子の記号を ∧ / ∩ {\displaystyle \land /\cap } （論理積/AND/共通部分）と ∨ / ∪ {\displaystyle \lor /\cup } （論理和/OR/和集合）とし、単項演算子の記号を ¬ {\displaystyle \lnot } / ~ （論理否定/NOT/補集合）とする。また、値 0 （偽/空集合）と 1 （真/普遍集合）も使用する。ブール代数とブール論理では以下のような法則が成り立つ。 a ∨ ( b ∨ c ) = ( a ∨ b ) ∨ c {\displaystyle a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c} a ∧ ( b ∧ c ) = ( a ∧ b ) ∧ c {\displaystyle a\land (b\land c)=(a\land b)\land c} 結合法則 a ∨ b = b ∨ a {\displaystyle a\lor b=b\lor a} a ∧ b = b ∧ a {\displaystyle a\land b=b\land a} 交換法則 a ∨ ( a ∧ b ) = a {\displaystyle a\lor (a\land b)=a} a ∧ ( a ∨ b ) = a {\displaystyle a\land (a\lor b)=a} 吸収法則 a ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ ( a ∨ c ) {\displaystyle a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)} a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) {\displaystyle a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)} 分配法則 a ∨ ¬ a = 1 {\displaystyle a\lor \lnot a=1} a ∧ ¬ a = 0 {\displaystyle a\land \lnot a=0} 可補束 a ∨ a = a {\displaystyle a\lor a=a} a ∧ a = a {\displaystyle a\land a=a} 等冪性 a ∨ 0 = a {\displaystyle a\lor 0=a} a ∧ 1 = a {\displaystyle a\land 1=a} 有界性 a ∨ 1 = 1 {\displaystyle a\lor 1=1} a ∧ 0 = 0 {\displaystyle a\land 0=0} ¬ 0 = 1 {\displaystyle \lnot 0=1} ¬ 1 = 0 {\displaystyle \lnot 1=0} 0 と 1 は相補的 ¬ ( a ∨ b ) = ¬ a ∧ ¬ b {\displaystyle \lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b} ¬ ( a ∧ b ) = ¬ a ∨ ¬ b {\displaystyle \lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b} ド・モルガンの法則 ¬ ¬ a = a {\displaystyle \lnot \lnot a=a} 対合 最初の3つの法則が束を定義し、最初の5つの法則がブール代数を定義する。
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