自己エネルギー

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自己エネルギー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/30 08:52 UTC 版)

電子の自己エネルギーを表すファインマン・ダイアグラム。波線は光子、実線は電子を表す。

自己エネルギー（じこエネルギー、英: self-energy）とは、粒子が自分自身の作り出す場との相互作用によって生じるエネルギーのことである。

概要

場の量子論や物性物理学において、相互作用がある場合のグリーン関数（伝播関数）を摂動論で計算する際、ウィックの定理（またはブロッホ＝ドミニシスの定理）によってファインマンダイアグラムを使うことができる。ファインマンダイアグラムの自己エネルギー部分とは、ダイアグラムの他の部分と2本の粒子線だけで繋がっているような部分の総称である。

実際に摂動展開をダイアグラムで書き下してみると、一部分が同じ形をしているダイアグラムがくりかえし表れることが分かる。ここで既約自己エネルギー部分（irreducible self energy）またはプロパーな自己エネルギー部分（proper self energy）を、1本の粒子線を切断するだけでは2つの部分に分離することができないようなダイアグラムで表される自己エネルギー部分と定義する。すると摂動展開は、既約自己エネルギー部分を $\Sigma$

これを数式で表したものはダイソン方程式と呼ばれる。既約自己エネルギーを $\Sigma$ $+\cdots \,$ $=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}(-ie\gamma ^{\mu }){\frac {i}{p\!\!/-k\!\!\!/-m+i\epsilon }}(-ie\gamma ^{\nu }){\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i\epsilon }}$

ここで、最右辺の第1項が自由な伝播関数、それ以降の項は自己エネルギーの両端にフェルミ粒子の伝播関数がついた1粒子既約、2粒子既約…のダイアグラムを表す。この式はファインマンルールを用いて計算され、フェルミ粒子の運動量をp、裸の質量をm₀とすると、

${\begin{aligned}\int d^{4}x\langle \Omega |T\psi (x){\bar {\psi }}(0)|\Omega \rangle e^{ip\cdot x}&={\frac {i}{p\!\!/-m_{0}+i\epsilon }}+{\frac {i}{p\!\!/-m_{0}+i\epsilon }}(-i\Sigma (p\!\!/)){\frac {i}{p\!\!/-m_{0}+i\epsilon }}+\cdots \\&={\frac {i}{p\!\!/-m_{0}-\Sigma (p\!\!/)+i\epsilon }}\end{aligned}}$

となる。この式は、元々は裸の質量m₀の位置にあった伝播関数の極が、自己エネルギーによってシフトしていることを表している。従って、物理的な質量mを求めるためには、方程式

$\left.\left[p\!\!/-m_{0}-\Sigma (p\!\!/)\right]\right|_{p\!\!/=m}=0$

を解けばよく、質量のシフトは

$\delta m=m-m_{0}=\Sigma (p\!\!/=m)$

と表せる。実際に自己エネルギーから質量シフトを計算すると、運動量カットオフΛと微細構造定数αを用いて、

$\delta m={\frac {3\alpha }{4\pi }}m_{0}\log \left({\frac {\Lambda ^{2}}{m_{0}^{2}}}\right)$

となり、対数の紫外発散となっていることが分かる。

参考文献

• M.E. Peskin; D.V. Schroeder (1995). An Introduction To Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 978-0201503975 

関連項目

• 繰り込み
• 頂点関数：3本あるいは4本の粒子線と繋がった部分をもつダイアグラムのこと。