統計力学への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 03:21 UTC 版)
統計力学においては、状態のアンサンブルを混合状態と考えることができる。量子統計力学では、あるハミルトニアンの各エネルギー固有状態が混合していると考えて密度行列を表現することがよくある。 密度行列 ρ は、たとえば混合の比率がカノニカル分布で表せるとすると、 ρ = e − β H Tr ( e − β H ) {\displaystyle \mathbf {\rho } ={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta H}}{\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})}}} グランドカノニカル分布では、 ρ = e − β H G Tr ( e − β H G ) = e β ( Ω − H G ) {\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta H_{\mathrm {G} }}}{\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H_{\mathrm {G} }})}}=\mathrm {e} ^{\beta (\Omega -H_{\mathrm {G} })}} で表される。ここで β = 1/kBT は逆温度、kB はボルツマン定数、Ω はグランドポテンシャル、HG はグランドカノニカル分布でのハミルトニアンである。 このときオブザーバブルの期待値 ⟨A⟩ は、 ⟨ A ⟩ = Tr { ρ A } = Tr { e − β H A } Tr { e − β H } {\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {Tr} \{\rho A\}={\frac {\operatorname {Tr} \{\mathrm {e} ^{-\beta H}A\}}{\operatorname {Tr} \{\mathrm {e} ^{-\beta H}\}}}} と書くことができる。特に A が恒等演算子 A = Id の場合、 ⟨ Id ⟩ = Tr { e − β H Id } Tr { e − β H } = Tr { e − β H } Tr { e − β H } = 1 {\displaystyle \langle \operatorname {Id} \rangle ={\frac {\operatorname {Tr} \{\mathrm {e} ^{-\beta H}\operatorname {Id} \}}{\operatorname {Tr} \{\mathrm {e} ^{-\beta H}\}}}={\frac {\operatorname {Tr} \{\mathrm {e} ^{-\beta H}\}}{\operatorname {Tr} \{\mathrm {e} ^{-\beta H}\}}}=1} を満たす。また、A がハミルトニアン A = H の場合、ハミルトニアンの固有値を {Ei} とすれば、 ⟨ H ⟩ = Tr { e − β H H } Tr { e − β H } = ∑ i E i e − β E i ∑ i e − β E i {\displaystyle \langle H\rangle ={\frac {\operatorname {Tr} \{\mathrm {e} ^{-\beta H}H\}}{\operatorname {Tr} \{\mathrm {e} ^{-\beta H}\}}}={\frac {\sum _{i}E_{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}}{\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}}}} と書き換えられる。
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