統計力学における定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/06 20:45 UTC 版)
統計力学では、逆温度βは接触した二つの系の平衡状態を考えることで定義される。 熱的に接触した二つの系1と2を考え、それぞれのエネルギーをE1、E2とする。E1とE2の和を一定であるとしてEとおく。それぞれの系の状態数をΩ1、Ω2とすると、状態数Ωiはエネルギー Ei を含む関数であるので、二つの結合した系の状態数は次のように表せる。 Ω ( E 1 + E 2 ) = Ω 1 ( E 1 ) Ω 2 ( E 2 ) = Ω 1 ( E 1 ) Ω 2 ( E − E 1 ) {\displaystyle \Omega (E_{1}+E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1})\,} ここで、平衡状態に達した系の状態数は停留値（英語版）をとると仮定すると、平衡状態において上式の両辺をE1で微分して、 ∂ ∂ E 1 Ω ( E 1 + E 2 ) = Ω 2 ( E 2 ) ∂ ∂ E 1 Ω 1 ( E 1 ) + Ω 1 ( E 1 ) ∂ ∂ E 2 Ω 2 ( E 2 ) ⋅ ∂ E 2 ∂ E 1 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega (E_{1}+E_{2})=\Omega _{2}(E_{2}){\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {\partial }{\partial E_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {\partial E_{2}}{\partial E_{1}}}=0} となる。一方、E1 + E2 = E（Eは定数）であるので、 ∂ E 2 ∂ E 1 = − 1 {\displaystyle {\frac {\partial E_{2}}{\partial E_{1}}}=-1} となり、これを用いると、 Ω 2 ( E 2 ) ∂ ∂ E 1 Ω 1 ( E 1 ) − Ω 1 ( E 1 ) ∂ ∂ E 2 Ω 2 ( E 2 ) = 0 {\displaystyle \Omega _{2}(E_{2}){\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {\partial }{\partial E_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0} すなわち、 ∂ ∂ E 1 ln Ω 1 ( E 1 ) = ∂ ∂ E 2 ln Ω 2 ( E 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\ln \Omega _{1}(E_{1})={\frac {\partial }{\partial E_{2}}}\ln \Omega _{2}(E_{2})} となる。この関係式よりβを次のように定義する。 β = ∂ ∂ E ln Ω ( E ) {\displaystyle \beta ={\frac {\partial }{\partial E}}\ln \Omega (E)}
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