結合順序の組合せ論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/26 03:45 UTC 版)
「マグマ (数学)」の記事における「結合順序の組合せ論」の解説
一般の非結合的な場合のマグマ演算を繰り返し反復適用することを考え、演算を適用する対を表すのに括弧を用いる。演算を繰り返して得られた文字列は、マグマの元を表す記号と開閉の対応のとれた括弧からなるものとなる。対応のとれた括弧からなる可能な限りの文字列全体の成す集合はダイク言語と呼ばれる。マグマ演算を n-回適用して得られる相異なる文字列の総数はカタラン数 Cn で与えられる。したがって例えば、C2 = 2 であることから、マグマの三つの元に二回演算を適用するときの組合せは (ab)c または a(bc) のふた通りしかないことがわかる。 表記の簡略化のためしばしば括弧の数を減らすことが行われる。これは演算を適用する場所でだけ文字を併置することで実現される。たとえば、マグマ演算を中置記法で ∗ とすると、xy ∗ z が (x ∗ y)∗ z の簡略表示である。さらなる簡略化は空白の挿入・抜取によるもので、例えば、xy∗z ∗ wv によって ((x ∗ y) ∗ z) ∗ (w ∗ v) が表せる。もちろん、もっと複雑な式に対しては、括弧の使用は不可避のものとなる。括弧の使用を完全に避ける方法としては、演算を中置記法で記すのではなく、前置記法や後置記法によればよい。
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