矩形行列のパーマネント
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 02:21 UTC 版)
「パーマネント (数学)」の記事における「矩形行列のパーマネント」の解説
パーマネント函数の定義域を正方行列でない矩形行列も含むように拡張することができる。実際いくつかの文献では、そのようにパーマネントを定義して、正方行列に制限したものを特別の場合とみるものがある。具体的には、m × n 行列 A = (aij) で m ≤ n とするとき、 perm ( A ) := ∑ σ ∈ P ( n , m ) a 1 σ ( 1 ) a 2 σ ( 2 ) … a m σ ( m ) {\displaystyle \operatorname {perm} (A):=\sum _{\sigma \in P(n,m)}a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\dotsc a_{m\sigma (m)}} と定める。ただし、P(n,m) は n-元集合 {1, 2, …, n} から m 元選ぶ部分置換（順列）全体の成す集合である:25。 パーマネントに対するRyserの計算論的結果も一般化できる。A が m × n 行列 (m ≤ n) のとき、A から k 個の列を取り除いて Ak が得られるとすると、Ak の行和の積を P(Ak), 可能なすべての Ak に対する P(Ak) の総和を σk と書けば、 perm ( A ) = ∑ k = 0 m − 1 ( − 1 ) k ( n − m + k k ) σ n − m + k {\displaystyle \operatorname {perm} (A)=\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}{\binom {n-m+k}{k}}\sigma _{n-m+k}} が成り立つ:26。
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