物体にする仕事の定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:03 UTC 版)
「仕事 (物理学)」の記事における「物体にする仕事の定式化」の解説
物体に力 F が作用し、その位置が Δx だけ変化したとき、力 F がこの物体に対してした仕事 W は W = F ⋅ Δ x {\displaystyle W={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}} によって定義される。力 F と変位 Δx はベクトル量であり、仕事はその内積で与えられるスカラー量である。内積の幾何学的な意味は、物体の移動方向に対する加えた力の寄与を取り出すことである。変位 Δx に平行な力の成分を F∥ と表せば、この仕事は W = F ∥ Δ x {\displaystyle W=F_{\parallel }\Delta x} のように表すことができる。ここで Δx は変位 Δx の大きさを表す。 より一般に、力が変化するときは、時刻 t における力 F(t) と、力が一定とみなせるほど短い時間 Δt を考える。この時間での物体の位置の変化は微分により Δx=(dx/dt)Δt と表されるので、この短い時間の間にこの力が物体に対してする仕事は W Δ t = F ( t ) ⋅ d x d t Δ t {\displaystyle W_{\Delta t}={\boldsymbol {F}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\,\Delta t} となる。時刻 t0 から t1 の間にこの力が物体に対してする仕事は短い時間の間にする仕事の足し合わせで定義される。Δt が無限小の極限では積分へと置き換えられて W t 0 → t 1 = ∫ t 0 t 1 ( F ( t ) ⋅ d x d t ) d t {\displaystyle W_{t_{0}\to t_{1}}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\boldsymbol {F}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\right)dt} となる。この定義から明らかなように、仕事は力のような時刻 t の瞬間において定まる量ではなく、ある時間の間に定まる量である。 積分変数は時刻である必要は無く、明示せずに W = ∫ F ⋅ d x {\displaystyle W=\int {\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {x}}} と書かれることもある。これは物体の運動の経路に沿った線積分となっている。
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