正規分布の密度関数による近似
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 00:14 UTC 版)
「ディラックのデルタ関数」の記事における「正規分布の密度関数による近似」の解説
中心 μ, 分散 σ2 の正規分布の密度関数 f μ , σ ( x ) = 1 2 π σ exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle f_{\mu ,\sigma }(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)} は、デルタ関数の満たすべき性質 ∫ − ∞ ∞ f μ , σ ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{\mu ,\sigma }(x)\,dx=1} を満たす。さらに、μ = 0 で σ → 0 とすれば x = 0 の近傍の外で一様に fσ(x) → 0 (x ≠ 0) かつ fσ(0) → +∞ である。これは、σ → 0 とすることで、関数族 fσ が汎関数としてデルタ関数に近づくことを意味する。したがって、デルタ関数はある意味で正規分布の密度関数の極限と見なすことができ、 lim σ → 0 1 2 π σ exp ( − x 2 2 σ 2 ) = δ ( x ) {\displaystyle \lim _{\sigma \to 0}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }}\exp \!\left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)=\delta (x)} と表現される。デルタ関数の表現に正規分布を用いたが、このことから、デルタ関数は正規分布の一種であると考えることが可能である。デルタ関数は、特殊な確率分布の表現に有用である。
※この「正規分布の密度関数による近似」の解説は、「ディラックのデルタ関数」の解説の一部です。
「正規分布の密度関数による近似」を含む「ディラックのデルタ関数」の記事については、「ディラックのデルタ関数」の概要を参照ください。
- 正規分布の密度関数による近似のページへのリンク
