正規分布：未知の平均と分散
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/17 08:32 UTC 版)
「指数型分布族」の記事における「正規分布：未知の平均と分散」の解説
未知の平均 μ {\displaystyle \mu } と未知の分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} を持つ正規分布の場合を考える。確率密度関数は f ( x ; μ , σ ) = 1 2 π σ 2 exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) . {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).} これは、次のように設定することで、指数型分布族であることが分かる。 η = ( μ σ 2 , − 1 2 σ 2 ) T h ( x ) = 1 2 π T ( x ) = ( x , x 2 ) T A ( η ) = μ 2 2 σ 2 + log | σ | = − η 1 2 4 η 2 + 1 2 log | 1 2 η 2 | {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\eta }}&=\left({\frac {\mu }{\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\right)^{\rm {T}}\\h(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\\T(x)&=\left(x,x^{2}\right)^{\rm {T}}\\A({\boldsymbol {\eta }})&={\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\log |\sigma |=-{\frac {\eta _{1}^{2}}{4\eta _{2}}}+{\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1}{2\eta _{2}}}\right|\end{aligned}}}
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