構成的数学やコンパクト性との関連
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/16 07:25 UTC 版)
「ケーニヒの補題」の記事における「構成的数学やコンパクト性との関連」の解説
ブラウワーのfan定理 は伝統的な見方によるとケーニヒの補題と対照的である。 { 0 , 1 } < ω {\displaystyle \{0,1\}^{<\omega }\,} の部分集合 S が bar であるとは、 ω {\displaystyle \omega } から { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} への 任意の関数の始切片が S の要素になっていること。 barが 分離できる とは、任意の列がbarの要素か、barの要素でないかであること。 （この用語を定義するのはこの定理が排中律を仮定しない状況で使用されるからである。） barが 一様 であるとは、ある数 N が存在して、いかなる ω {\displaystyle \omega } から { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} への関数も 始切片をbarの長さ N {\displaystyle N} 以下の要素として持つこと。 ブラウワーのfan定理は、分離できないbarは一様なbarであることを主張する。 この定理は、barをコンパクト空間 { 0 , 1 } ω {\displaystyle \{0,1\}^{\omega }} の開被覆と見なすことにより示される。 barの要素である列はこの空間の開基であり、これらの開基は空間を被覆する。 コンパクト性により、この被覆は有限部分被覆を持つ。 fan定理の N を有限部分被覆の要素である開基のうち最長列の長さとして取ればよい。 この位相的な証明は、次のケーニヒの補題の変形にも通用する。：任意自然数 k に対し、 { 0 , … , k } < ω {\displaystyle \{0,\ldots ,k\}^{<\omega }\,} のいかなる無限部分木も無限な道をもつ。
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